Tu connais déjà le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle. Mais que se passe-t-il quand tu dois calculer cos(75°) ou sin(π/12) sans calculatrice ? C'est exactement là que les formules d'addition trigonométrie entrent en jeu. Elles permettent d'exprimer cos(a+b), sin(a+b) et tan(a+b) en fonction des sinus et cosinus de a et de b séparément. Dans cet article, on voit d'où elles viennent, comment les utiliser sans se tromper, et on résout ensemble des exemples chiffrés jusqu'au bout.
1. Rappels : sinus, cosinus et cercle trigonométrique
Avant d'attaquer les formules d'addition, il faut être au clair sur les définitions. On se place dans le cercle trigonométrique : un cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. À tout réel x (exprimé en radians), on associe un point M sur ce cercle.
- Le cosinus de x, noté cos(x), est l'abscisse de M.
- Le sinus de x, noté sin(x), est l'ordonnée de M.
- La tangente est définie par tan(x) = sin(x) / cos(x), pour cos(x) ≠ 0.
Propriété fondamentale : pour tout réel x, cos²(x) + sin²(x) = 1. C'est l'identité de Pythagore appliquée au triangle rectangle formé par O, M et le projeté de M sur l'axe des abscisses.
Quelques valeurs remarquables à connaître par cœur (en radians) :
- cos(0) = 1 et sin(0) = 0
- cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2
- cos(π/4) = √2/2 et sin(π/4) = √2/2
- cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2
- cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1
Si ces rappels te semblent flous, prends le temps de revoir le cours complet sur https://www.allotrigonometrie.fr/cours avant de continuer.
2. Les formules d'addition : énoncé exact
Pour tous réels a et b, on a les quatre formules fondamentales :
- cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b
- cos(a−b) = cos a cos b + sin a sin b
- sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a−b) = sin a cos b − cos a sin b
Et pour la tangente, lorsque cos a, cos b et cos(a+b) sont non nuls :
tan(a+b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b)
Attention au signe : dans cos(a+b), c'est un moins qui apparaît, alors que dans sin(a+b), c'est un plus. Ce décalage est la source d'erreur numéro un chez les élèves. Retiens la phrase : « cosinus, c'est le contraire ; sinus, c'est pareil ».
D'où viennent ces formules ?
On peut les démontrer avec le cercle trigonométrique. Place deux points A et B sur le cercle de rayon 1, d'angles respectifs a et b. En calculant le produit scalaire des vecteurs OA et OB de deux façons différentes (avec les coordonnées, puis avec la formule du produit scalaire), on obtient cos(a−b) = cos a cos b + sin a sin b. En remplaçant b par −b et en utilisant la parité (cos(−b) = cos b, sin(−b) = −sin b), on retrouve les autres formules. C'est un raisonnement classique de Première spécialité maths.
3. Méthode : comment appliquer les formules sans se tromper
Voici une méthode en quatre étapes pour calculer un cosinus ou un sinus d'angle composé :
- Étape 1 : décompose l'angle en somme ou différence de deux angles remarquables (par exemple 75° = 45° + 30°, ou π/12 = π/3 − π/4).
- Étape 2 : écris la formule correspondante (cos(a+b), sin(a−b), etc.) en respectant bien les signes.
- Étape 3 : remplace chaque sinus et cosinus par sa valeur exacte (fraction, racine carrée).
- Étape 4 : simplifie l'expression finale, en regroupant les termes et en réduisant les fractions.
Pour vérifier ton résultat, tu peux toujours comparer avec une valeur approchée à la calculatrice. Par exemple, cos(75°) ≈ 0,2588. Si tu obtiens quelque chose de très différent, c'est qu'il y a une erreur de signe ou de formule.
Schéma mental du cercle trigonométrique
Imagine le cercle de rayon 1 centré à l'origine. L'angle a part de l'axe des abscisses. Le point A a pour coordonnées (cos a ; sin a). De même, B a pour coordonnées (cos b ; sin b). L'angle (a+b) correspond à une rotation combinée. En visualisant ces positions, tu comprends pourquoi le cosinus de la somme fait intervenir un produit de cosinus et un produit de sinus avec un signe opposé : c'est la conséquence géométrique de la rotation.
4. Exemple entièrement résolu : calcul de cos(75°)
On veut calculer la valeur exacte de cos(75°). On remarque que 75° = 45° + 30°. On utilise donc la formule cos(a+b) avec a = 45° et b = 30°.
Étape 1 : cos(75°) = cos(45° + 30°).
Étape 2 : cos(45° + 30°) = cos(45°) cos(30°) − sin(45°) sin(30°).
Étape 3 : on remplace par les valeurs exactes :
- cos(45°) = √2/2
- cos(30°) = √3/2
- sin(45°) = √2/2
- sin(30°) = 1/2
Donc cos(75°) = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6/4) − (√2/4).
Étape 4 : on regroupe : cos(75°) = (√6 − √2) / 4.
Vérification numérique : √6 ≈ 2,449 et √2 ≈ 1,414, donc (2,449 − 1,414)/4 ≈ 1,035/4 ≈ 0,2588. C'est bien cohérent avec la calculatrice (cos 75° ≈ 0,2588).
Deuxième exemple : sin(π/12)
On sait que π/12 = π/3 − π/4. On utilise sin(a−b) = sin a cos b − cos a sin b avec a = π/3 et b = π/4.
sin(π/12) = sin(π/3) cos(π/4) − cos(π/3) sin(π/4)
= (√3/2)(√2/2) − (1/2)(√2/2)
= (√6/4) − (√2/4) = (√6 − √2) / 4.
Remarque : on retrouve la même expression que pour cos(75°), car 75° = 5π/12 et sin(π/12) = cos(5π/12). C'est une conséquence de la formule de complémentarité sin(x) = cos(π/2 − x).
5. Pièges fréquents et conseils de révision
Confusion degré / radian
Les formules d'addition fonctionnent avec n'importe quelle unité d'angle, à condition d'être cohérent. Mais dans les exercices, on mélange souvent les deux. Si tu écris cos(45 + π/6), c'est faux car tu additionnes des degrés et des radians. Convertis toujours tout en radians ou tout en degrés avant d'appliquer la formule.
Erreur de signe
La formule cos(a+b) contient un signe moins, et sin(a+b) un signe plus. Beaucoup d'élèves inversent. Pour t'en souvenir : pense à cos(π/2) = 0. Si tu appliques cos(π/3 + π/6) avec la mauvaise formule, tu obtiens un résultat non nul, ce qui est absurde puisque π/3 + π/6 = π/2. C'est un bon test de cohérence.
Oublier les conditions pour tan(a+b)
La formule tan(a+b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b) n'est valable que si cos a ≠ 0, cos b ≠ 0 et cos(a+b) ≠ 0. Si le dénominateur 1 − tan a tan b s'annule, la tangente n'est pas définie. Par exemple, tan(π/2) n'existe pas. Ne l'oublie jamais.
Conseil de révision
Pour maîtriser ces formules, entraîne-toi à les retrouver rapidement. Écris-les plusieurs fois, puis fais des exercices variés sur https://www.allotrigonometrie.fr/exercices. Tu peux aussi utiliser les fiches de révision disponibles sur https://www.allotrigonometrie.fr/revisions pour vérifier que tu connais toutes les formules dérivées (duplication, linéarisation).
6. Pour aller plus loin : formules dérivées
Les formules d'addition sont la base de nombreuses autres formules :
- Formules de duplication : cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a ; sin(2a) = 2 sin a cos a.
- Formules de linéarisation : cos²a = (1 + cos(2a))/2 ; sin²a = (1 − cos(2a))/2.
- Formules de transformation somme-produit : cos p + cos q = 2 cos((p+q)/2) cos((p−q)/2), etc.
Ces formules sont au programme de Terminale spécialité maths et sont très utiles en analyse (intégrales, équations différentielles). Si tu veux approfondir d'autres chapitres de maths du lycée, tu peux aussi consulter https://www.allobac.fr qui couvre l'ensemble des matières scientifiques.
Conclusion
Les formules d'addition trigonométrie ne sont pas juste des formules à réciter : elles te permettent de calculer des valeurs exactes d'angles non remarquables, de simplifier des expressions et de résoudre des équations trigonométriques. En les maîtrisant, tu gagnes en autonomie et tu prépares efficacement les chapitres plus avancés comme les nombres complexes ou les intégrales. Alors, prends une feuille, réécris les quatre formules, et lance-toi sur un exercice : c'est en pratiquant que ça devient naturel. Bon courage !
