Le Cercle Trigonométrique
Le cercle de rayon 1 centré à l'origine. La base de toute la trigonométrie du lycée !
Qu'est-ce que le Cercle Trigonométrique ?
Définition
Le cercle trigonométrique (ou cercle unité) est un cercle :
- Centré à l'origine O du repère
- De rayon 1
Points importants
- • I(1, 0) : point de départ sur l'axe des x
- • J(0, 1) : point en haut sur l'axe des y
- • Sens positif : sens inverse des aiguilles d'une montre
Pourquoi rayon 1 ?
Avec un rayon de 1, les coordonnées du point M sont directement cos(x) et sin(x) ! Pas besoin de diviser par le rayon.
L'Enroulement de la Droite Réelle
Imagine une droite graduée (la droite des réels) qu'on "enroule" autour du cercle :
Le point 0 de la droite se place en I(1, 0).
Les nombres positifs s'enroulent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Les nombres négatifs s'enroulent dans le sens des aiguilles d'une montre.
Le nombre 2π ≈ 6.28 fait exactement un tour complet et revient en I.
Points remarquables sur le cercle
Cos et Sin sur le Cercle
cos(x) = abscisse
Le cosinus de l'angle x est l'abscisse (coordonnée horizontale) du point M sur le cercle.
cos(x) ∈ [-1 ; 1]
sin(x) = ordonnée
Le sinus de l'angle x est l'ordonnée (coordonnée verticale) du point M sur le cercle.
sin(x) ∈ [-1 ; 1]
Attention : nouvelle définition !
En 3ème, cos = adjacent/hypoténuse. En 2nde, cos = abscisse sur le cercle unité. C'est la même chose, mais formulé différemment ! Le cercle unité permet de définir cos et sin pour tous les angles, pas seulement ceux entre 0° et 90°.
La Propriété Fondamentale
cos²(x) + sin²(x) = 1
Pour tout angle x, cette égalité est toujours vraie !
Pourquoi c'est vrai ?
Le point M(cos(x), sin(x)) est sur le cercle de rayon 1. D'après le théorème de Pythagore :
OM² = cos²(x) + sin²(x) = 1² = 1
Cette formule est ultra-utile pour simplifier des expressions trigonométriques !
