Quelle est la formule du cosinus dans un triangle rectangle ?

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l'hypoténuse : cos(angle) = adjacent / hypoténuse.

Quelle est la différence entre cosinus et sinus ?

Le cosinus est le rapport côté adjacent / hypoténuse, tandis que le sinus est le rapport côté opposé / hypoténuse. Sur le cercle trigonométrique, cos(θ) est l'abscisse du point M et sin(θ) est son ordonnée.

Comment calculer un angle avec le cosinus ?

Si tu connais le cosinus de l'angle, utilise la fonction inverse arccos (ou cos⁻¹) sur ta calculatrice. Par exemple, si cos(x) = 0,5, alors x = arccos(0,5) = 60° (ou π/3 radians).

Quelles sont les valeurs remarquables du cosinus à connaître ?

Les valeurs à connaître par cœur sont : cos(0)=1, cos(π/6)=√3/2, cos(π/4)=√2/2, cos(π/3)=1/2, cos(π/2)=0, cos(π)=−1. Elles correspondent à 0°, 30°, 45°, 60°, 90° et 180°.

Qu'est-ce que la loi des cosinus ?

La loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi) s'applique dans un triangle quelconque : a² = b² + c² − 2bc × cos(A), où A est l'angle opposé au côté a. Elle généralise le théorème de Pythagore.

Le cosinus peut-il être négatif ?

Oui. Dans un triangle rectangle, l'angle est aigu donc le cosinus est positif. Mais sur le cercle trigonométrique, pour un angle obtus (entre 90° et 180°), le cosinus est négatif. Par exemple, cos(120°) = −1/2.

Cosinus : tout savoir (triangle rectangle, cercle)

Le cosinus est partout en trigonométrie : dès que tu étudies un triangle rectangle, un cercle de rayon 1 ou une fonction périodique, tu le retrouves. Pourtant, beaucoup d'élèves mélangent encore cosinus, sinus et tangente, ou confondent degrés et radians. Dans cet article, on reprend tout depuis le début, avec des définitions exactes, des formules en texte clair et des exemples entièrement résolus. À la fin, tu sauras calculer un cosinus, l'utiliser pour trouver une longueur ou un angle, et reconnaître les valeurs remarquables sans hésiter.

1. Définition du cosinus dans un triangle rectangle

On commence par la situation la plus concrète : un triangle rectangle. Considère un triangle ABC rectangle en B. Les côtés sont :

l'hypoténuse [AC], le côté opposé à l'angle droit (le plus long) ;
le côté adjacent à l'angle en A : c'est [AB] ;
le côté opposé à l'angle en A : c'est [BC].

Pour l'angle aigu en A (noté Â), on définit :

cos(Â) = longueur du côté adjacent / longueur de l'hypoténuse = AB / AC

Cette définition est valable uniquement dans un triangle rectangle et pour un angle aigu (entre 0° et 90°). Le cosinus d'un angle aigu est donc toujours un nombre compris entre 0 et 1 (strictement). Plus l'angle est petit, plus le cosinus est proche de 1 ; plus l'angle est grand (proche de 90°), plus le cosinus est proche de 0.

Pour ne pas confondre avec le sinus et la tangente, retiens :

cos(Â) = adjacent / hypoténuse ;
sin(Â) = opposé / hypoténuse ;
tan(Â) = opposé / adjacent.

Le moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA t'aide à retenir ces trois rapports.

2. Le cosinus sur le cercle trigonométrique

La définition précédente ne marche que pour des angles aigus. Pour généraliser à tous les angles (y compris obtus, négatifs, ou supérieurs à 360°), on utilise le cercle trigonométrique.

Imagine un cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé. On place un point M sur ce cercle. L'angle θ est mesuré à partir de l'axe des abscisses (axe horizontal), dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct). Alors :

cos(θ) = abscisse du point M (sa coordonnée en x).

Et le sinus correspond à l'ordonnée : sin(θ) = ordonnée de M.

Le point M a donc pour coordonnées (cos θ ; sin θ). Comme le cercle a pour rayon 1, on a toujours :

−1 ≤ cos(θ) ≤ 1 et cos²(θ) + sin²(θ) = 1.

Cette dernière relation est fondamentale : elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par O, M et le projeté de M sur l'axe des abscisses.

Sur ce cercle, les angles se mesurent souvent en radians. Un tour complet vaut 2π radians, soit 360°. La conversion est :

180° = π radians, donc degrés = radians × (180/π) et radians = degrés × (π/180).

Quelques repères : 0° = 0 rad ; 30° = π/6 ; 45° = π/4 ; 60° = π/3 ; 90° = π/2 ; 180° = π ; 360° = 2π.

3. Valeurs remarquables du cosinus

Certaines valeurs reviennent tout le temps. Tu dois les connaître par cœur :

cos(0) = 1
cos(π/6) = cos(30°) = √3/2
cos(π/4) = cos(45°) = √2/2
cos(π/3) = cos(60°) = 1/2
cos(π/2) = cos(90°) = 0
cos(π) = cos(180°) = −1

Pour les angles associés, retiens les symétries :

cos(−θ) = cos(θ) (la fonction cosinus est paire)
cos(π − θ) = −cos(θ)
cos(π + θ) = −cos(θ)
cos(π/2 − θ) = sin(θ)

Ces formules te permettent de ramener n'importe quel angle à un angle de référence entre 0 et π/2.

4. Formules de calcul avec le cosinus

Au lycée, tu utiliseras aussi les formules d'addition et de duplication :

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
cos(2a) = cos²(a) − sin²(a) = 2cos²(a) − 1 = 1 − 2sin²(a)

Et la relation fondamentale : cos²(x) + sin²(x) = 1, qui permet de passer du sinus au cosinus (au signe près) : sin(x) = ±√(1 − cos²(x)).

Enfin, dans un triangle quelconque (pas forcément rectangle), la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi) s'écrit :

a² = b² + c² − 2bc × cos(A), où A est l'angle opposé au côté a.

5. Exemple entièrement résolu

Énoncé : Dans un triangle ABC rectangle en B, on sait que AB = 5 cm et AC = 13 cm. Calcule cos(Â), puis donne la mesure de l'angle Â en degrés (arrondie au dixième).

Étape 1 : identifier les côtés. L'hypoténuse est AC = 13 cm. Le côté adjacent à l'angle Â est AB = 5 cm.

Étape 2 : appliquer la définition.

cos(Â) = AB / AC = 5 / 13 ≈ 0,3846.

Étape 3 : trouver l'angle. On utilise la fonction inverse : Â = arccos(5/13). À la calculatrice (en mode degrés), on obtient Â ≈ 67,38°. Arrondi au dixième : Â ≈ 67,4°.

Vérification : on peut calculer BC avec le théorème de Pythagore : BC² = AC² − AB² = 169 − 25 = 144, donc BC = 12 cm. Alors sin(Â) = BC/AC = 12/13 ≈ 0,923. On vérifie cos²(Â) + sin²(Â) = (5/13)² + (12/13)² = 25/169 + 144/169 = 169/169 = 1. C'est cohérent.

Autre exemple avec le cercle trigonométrique : Calculons cos(5π/6). On remarque que 5π/6 = π − π/6. Donc cos(5π/6) = cos(π − π/6) = −cos(π/6) = −√3/2. La valeur exacte est −√3/2 ≈ −0,866.

6. Méthode et pièges fréquents

Pour réussir tes exercices de trigonométrie, adopte cette méthode :

Vérifie que ta calculatrice est dans le bon mode : degrés ou radians selon l'énoncé.
Dans un triangle rectangle, identifie toujours l'hypoténuse et le côté adjacent avant d'écrire le rapport.
Sur le cercle trigonométrique, place l'angle et repère le signe du cosinus (positif à droite de l'axe vertical, négatif à gauche).
Utilise les valeurs remarquables et les formules d'angles associés pour éviter les erreurs de calcul.

Les pièges classiques :

Confondre cos et sin : cos = adjacent/hypoténuse, sin = opposé/hypoténuse.
Oublier que le cosinus peut être négatif (angles obtus).
Mélanger degrés et radians dans une même expression.
Utiliser la loi des cosinus à la place du théorème de Pythagore alors que le triangle n'est pas rectangle.

Pour t'entraîner, tu peux consulter nos exercices corrigés de trigonométrie et nos cours détaillés. Si tu prépares le bac, jette aussi un œil à nos fiches de révision.

7. Conclusion

Le cosinus n'est pas qu'un simple rapport : c'est une fonction qui relie angles et longueurs, et qui se prolonge naturellement sur le cercle trigonométrique. En maîtrisant sa définition, les valeurs remarquables et les formules de base, tu pourras résoudre la plupart des exercices de trigonométrie du lycée. N'hésite pas à refaire les exemples de cet article sans regarder la correction, puis à vérifier avec ta calculatrice. Plus tu manipules ces notions, plus elles deviendront automatiques. Et si tu veux aller plus loin, explore notre site pour des ressources complémentaires en trigonométrie.