Tu arrives au chapitre des formules trigonométriques et tu tombes sur une ligne un peu intimidante : cos(2a) = cos²(a) − sin²(a). Pas de panique. Les formules de duplication ne sont pas une montagne de choses à mémoriser par cœur : ce sont quelques égalités qui découlent toutes des formules d'addition, et qui reviennent sans arrêt dans les exercices de Première et de Terminale spécialité maths. Dans cet article, on va construire une vraie checklist : comprendre d'où viennent les formules cos(2a) et sin(2a), savoir les redémontrer en dix secondes, les appliquer sur des exemples chiffrés exacts, et repérer les pièges classiques. À la fin, tu sauras exactement quoi faire quand tu vois « 2a » apparaître dans un énoncé.
1. Rappel express : sinus, cosinus, tangente et radians
Avant de parler de duplication, il faut être au clair sur les objets qu'on manipule. Dans le cercle trigonométrique (cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre), on associe à chaque réel x un point M tel que l'angle au centre entre l'axe des abscisses et le segment [OM] mesure x radians. On définit alors :
- cos(x) = abscisse du point M ;
- sin(x) = ordonnée du point M ;
- tan(x) = sin(x) / cos(x), définie lorsque cos(x) ≠ 0.
Le radian est l'unité naturelle : un tour complet vaut 2π radians, soit 360 degrés. Autrement dit, π radians = 180 degrés. La relation fondamentale, valable pour tout réel x, est :
cos²(x) + sin²(x) = 1.
Elle vient directement du théorème de Pythagore appliqué dans le triangle rectangle formé par O, M et le projeté de M sur l'axe des abscisses : l'hypoténuse vaut 1 (rayon du cercle), les côtés de l'angle droit valent |cos(x)| et |sin(x)|. Si tu veux revoir ces bases, jette un œil à nos cours de trigonométrie : tout le reste du chapitre s'appuie là-dessus.
2. Les formules de duplication : énoncé exact
Les formules de duplication expriment le cosinus, le sinus et la tangente de 2a en fonction de cos(a) et sin(a). Pour tout réel a :
- cos(2a) = cos²(a) − sin²(a)
- sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
- tan(2a) = 2 tan(a) / (1 − tan²(a)), à condition que tan(a) et tan(2a) soient définies.
La première formule admet deux écritures équivalentes, souvent plus pratiques selon l'énoncé. En utilisant cos²(a) + sin²(a) = 1, on peut remplacer sin²(a) par 1 − cos²(a), ou cos²(a) par 1 − sin²(a). Cela donne :
- cos(2a) = 2 cos²(a) − 1
- cos(2a) = 1 − 2 sin²(a)
Ces trois écritures de cos(2a) sont rigoureusement égales. Elles servent à « linéariser » : si tu connais cos(a), tu choisis 2cos²(a) − 1 ; si tu connais sin(a), tu choisis 1 − 2sin²(a). C'est un réflexe à acquérir.
D'où viennent-elles ?
Elles découlent des formules d'addition, qui sont au programme :
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
Il suffit de remplacer b par a. Pour le cosinus : cos(2a) = cos(a + a) = cos(a)cos(a) − sin(a)sin(a) = cos²(a) − sin²(a). Pour le sinus : sin(2a) = sin(a + a) = sin(a)cos(a) + cos(a)sin(a) = 2 sin(a)cos(a). Voilà, c'est tout. Si tu sais redémontrer ces deux lignes, tu n'as plus vraiment besoin de les mémoriser : tu peux les retrouver à tout moment.
3. Méthode pas à pas : comment les utiliser sans se tromper
Voici une petite procédure à appliquer dans l'ordre. Imagine le cercle trigonométrique : tu places le point M associé à l'angle a, puis le point M' associé à l'angle 2a (tu as « doublé » l'angle en partant de l'axe des abscisses, toujours dans le sens trigonométrique).
- Repère l'angle double. Dans l'énoncé, cherche une expression du type 2a, 2x, 2θ, ou une valeur remarquable comme π/3 (car π/3 = 2 × π/6).
- Identifie a. Si l'angle est 2a, alors a est la moitié. Par exemple, si tu veux cos(π/3), tu peux poser a = π/6, donc 2a = π/3.
- Choisis la bonne écriture de cos(2a). Si tu connais cos(a), prends 2cos²(a) − 1. Si tu connais sin(a), prends 1 − 2sin²(a). Si tu connais les deux, la forme cos²(a) − sin²(a) marche toujours.
- Applique sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) si l'énoncé demande un sinus d'angle double.
- Vérifie le signe. Sur le cercle trigonométrique, si 2a tombe dans le demi-plan des abscisses négatives, alors cos(2a) doit être négatif. Ce contrôle rapide élimine la plupart des erreurs de calcul.
Entraîne-toi sur des cas simples avant de te lancer dans des équations : c'est exactement ce que proposent nos exercices de trigonométrie, classés par difficulté.
4. Exemples entièrement résolus
Exemple 1 : calculer cos(π/3) et sin(π/3) à partir de π/6
On sait que cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2. On veut cos(π/3) et sin(π/3), sachant que π/3 = 2 × π/6. Posons a = π/6.
Cosinus : cos(2a) = 2cos²(a) − 1 = 2 × (√3/2)² − 1 = 2 × (3/4) − 1 = 3/2 − 1 = 1/2. Donc cos(π/3) = 1/2. ✔
Sinus : sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) = 2 × (1/2) × (√3/2) = √3/2. Donc sin(π/3) = √3/2. ✔
On retrouve bien les valeurs remarquables du programme. C'est un excellent moyen de vérifier que tu as compris la formule : elle reconstruit la table trigonométrique.
Exemple 2 : calculer cos(2a) connaissant cos(a)
Soit a un réel tel que cos(a) = 3/5 et a appartient à l'intervalle [0 ; π/2]. Calculons cos(2a) et sin(2a).
Étape 1 — trouver sin(a). On utilise cos²(a) + sin²(a) = 1 : sin²(a) = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25. Comme a ∈ [0 ; π/2], sin(a) ≥ 0, donc sin(a) = 4/5.
Étape 2 — cos(2a). cos(2a) = cos²(a) − sin²(a) = 9/25 − 16/25 = −7/25. On peut vérifier avec l'autre forme : 2cos²(a) − 1 = 2 × 9/25 − 1 = 18/25 − 25/25 = −7/25. Cohérent.
Étape 3 — sin(2a). sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) = 2 × (4/5) × (3/5) = 24/25.
Contrôle du signe. a ≈ 53°, donc 2a ≈ 106°, qui est dans le deuxième quadrant : cos(2a) doit être négatif (c'est bien −7/25) et sin(2a) positif (c'est bien 24/25). Parfait.
Exemple 3 : une équation trigonométrique
Résolvons dans [0 ; 2π[ l'équation cos(2x) = cos(x). On utilise la forme 2cos²(x) − 1 : 2cos²(x) − 1 = cos(x), soit 2cos²(x) − cos(x) − 1 = 0. Posons X = cos(x). On obtient 2X² − X − 1 = 0. Le discriminant vaut Δ = 1 + 8 = 9, donc X = (1 ± 3)/4, soit X = 1 ou X = −1/2.
Cas 1 : cos(x) = 1 donne x = 0. Cas 2 : cos(x) = −1/2 donne x = 2π/3 ou x = 4π/3. L'ensemble des solutions dans [0 ; 2π[ est donc S = {0 ; 2π/3 ; 4π/3}.
Remarque la puissance de la méthode : une équation trigonométrique s'est transformée en une simple équation du second degré. C'est l'un des usages les plus fréquents des formules de duplication en Première et en Terminale.
5. Checklist de révision et pièges fréquents
Voici la fameuse checklist. Coche chaque point avant un contrôle.
- Je connais les trois écritures de cos(2a). cos²(a) − sin²(a), 2cos²(a) − 1, 1 − 2sin²(a).
- Je sais retrouver les formules en partant de cos(a+b) et sin(a+b). Si je les oublie, je les redémontre en 15 secondes.
- Je ne confonds pas degrés et radians. π/6 rad = 30°, π/3 rad = 60°, π/2 rad = 90°. Écrire cos(60) au lieu de cos(π/3) est une faute classique : 60 radians, ce n'est pas 60 degrés !
- Je vérifie toujours le signe sur le cercle trigonométrique. Un cos(2a) positif avec 2a dans le deuxième quadrant, c'est impossible.
- Je fais attention au domaine de validité de tan(2a). La formule tan(2a) = 2tan(a)/(1 − tan²(a)) exige cos(a) ≠ 0 et cos(2a) ≠ 0.
- Je ne confonds pas duplication et linéarisation. cos(2a) n'est pas égal à 2cos(a). Le cosinus n'est pas linéaire : cos(2a) ≠ 2cos(a) en général.
- Je m'entraîne régulièrement. Une formule comprise se retient ; une formule apprise par cœur sans compréhension s'oublie en trois jours. Passe par nos fiches de révision pour consolider.
Autre piège : la simplification abusive sin(2a) = 2sin(a). Faux ! La formule exacte est sin(2a) = 2 sin(a) cos(a). Le facteur cos(a) est indispensable. De même, cos(2a) = 2cos²(a) − 1, et non 2cos(a) − 1 : l'exposant 2 porte bien sur cos(a), pas sur 2a.
Enfin, souviens-toi que ces formules s'articulent avec les formules d'addition et de soustraction : par exemple, cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a)cos(a) − sin(2a)sin(a), ce qui permet d'obtenir les formules de triple angle. C'est un bon exercice pour vérifier que tu maîtrises la mécanique. Si tu veux aller plus loin sur les méthodes de travail en maths, le site partenaire Allobac propose des ressources complémentaires utiles au lycée.
6. Conclusion : reprends la main sur la trigonométrie
Les formules de duplication ne sont pas un chapitre isolé : elles relient les formules d'addition, la relation cos²(x) + sin²(x) = 1, la résolution d'équations trigonométriques et la linéarisation. Si tu sais écrire cos(2a) sous ses trois formes, retrouver sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) en partant de sin(a + a), et vérifier tes résultats sur le cercle trigonométrique, tu as déjà fait le plus dur. La trigonométrie devient alors un jeu de transformations logiques, pas une liste de formules à avaler. Continue à t'entraîner régulièrement, refais les exemples de cet article sans regarder la solution, puis attaque des exercices plus longs. Chaque formule que tu redémontres toi-même est une formule que tu ne perdras plus le jour du contrôle.
