Qu'est-ce que le théorème d'Al-Kashi exactement ?

Le théorème d'Al-Kashi, ou loi des cosinus, relie les trois côtés d'un triangle quelconque à l'un de ses angles. Pour un triangle ABC avec a = BC, b = AC, c = AB et Â l'angle au sommet A : a² = b² + c² − 2·b·c·cos(Â). Si Â = 90°, cos(Â) = 0 et on retrouve le théorème de Pythagore.

Quelle est la différence entre le théorème d'Al-Kashi et le théorème de Pythagore ?

Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles : a² = b² + c². Al-Kashi s'applique à tous les triangles : a² = b² + c² − 2·b·c·cos(Â). Quand l'angle Â vaut 90°, cos(90°) = 0, donc le terme supplémentaire disparaît et Al-Kashi redonne Pythagore.

Comment calculer un angle avec le théorème d'Al-Kashi ?

Il faut isoler cos(Â) dans la formule : cos(Â) = (b² + c² − a²) / (2·b·c). On remplace par les longueurs connues, on calcule la valeur du cosinus, puis on utilise la fonction arccos (cos⁻¹) de la calculatrice pour obtenir l'angle en degrés ou en radians selon le contexte.

Quand faut-il utiliser le théorème d'Al-Kashi plutôt que la loi des sinus ?

On utilise Al-Kashi quand on connaît deux côtés et l'angle compris entre eux (pour trouver le troisième côté), ou les trois côtés (pour trouver un angle). La loi des sinus est plus adaptée quand on connaît un côté et deux angles, ou deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux.

Peut-on utiliser Al-Kashi dans un triangle rectangle ?

Oui, la formule reste valable, mais elle est inutile car elle se réduit à Pythagore. Dans un triangle rectangle, il vaut mieux appliquer directement Pythagore, plus rapide et plus simple.

Quelles valeurs remarquables de cosinus faut-il connaître pour Al-Kashi ?

Il faut connaître : cos(0) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0, cos(120°) = −1/2, cos(180°) = −1. En radians : cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1.

Réviser le théorème d'Al-Kashi en 10 jours (méthode efficace)

Tu bloques sur un triangle qui n'est pas rectangle et tu ne sais pas par où commencer ? Le théorème d'Al-Kashi, aussi appelé loi des cosinus, est exactement l'outil qu'il te faut. En 10 jours bien organisés, tu peux le maîtriser complètement. Dans cet article, on pose la formule exacte, on voit comment l'utiliser pas à pas, on résout un exemple chiffré de bout en bout, et on te donne un plan de révision réaliste. Rien que de la trigonométrie, niveau lycée, sans approximation.

1. Le théorème d'Al-Kashi : définition exacte et formule

Considère un triangle ABC quelconque (pas forcément rectangle). On note :

a = BC (côté opposé au sommet A)
b = AC (côté opposé au sommet B)
c = AB (côté opposé au sommet C)
Â l'angle au sommet A, mesuré en degrés ou en radians.

Le théorème d'Al-Kashi s'énonce ainsi :

a² = b² + c² − 2·b·c·cos(Â)

Et par symétrie (en permutant les lettres) :

b² = a² + c² − 2·a·c·cos(B̂)
c² = a² + b² − 2·a·b·cos(Ĉ)

Tu remarques immédiatement un point essentiel : si l'angle Â vaut 90° (donc π/2 radian), alors cos(90°) = 0, et la formule devient a² = b² + c². C'est exactement le théorème de Pythagore ! Al-Kashi est donc une généralisation de Pythagore à tous les triangles, pas seulement aux triangles rectangles. Voilà pourquoi on l'appelle aussi loi des cosinus.

Pour t'entraîner à manipuler ces formules dans des cas variés, tu peux t'appuyer sur les cours de trigonométrie disponibles en ligne : ils reprennent proprement les définitions du cosinus dans un triangle rectangle et dans le cercle trigonométrique.

Rappel : d'où vient le cosinus ?

Dans un triangle rectangle, cos(θ) = adjacent / hypoténuse. Sur le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1 centré à l'origine), un angle θ mesuré en radians à partir de l'axe des abscisses a pour cosinus l'abscisse du point correspondant, et pour sinus son ordonnée. Cette vision sur le cercle permet de comprendre pourquoi cos(90°) = 0 et pourquoi cos(180°) = −1 : le point est alors sur l'axe des abscisses négatives.

Valeurs remarquables à connaître par cœur (indispensables pour Al-Kashi) :

cos(0) = 1 ; cos(60°) = cos(π/3) = 1/2 ; cos(90°) = cos(π/2) = 0
cos(120°) = cos(2π/3) = −1/2 ; cos(180°) = cos(π) = −1
cos(30°) = cos(π/6) = √3/2 ; cos(45°) = cos(π/4) = √2/2

2. Méthode : utiliser Al-Kashi étape par étape

Avant de te lancer, identifie ce que tu cherches. Deux grands cas se présentent.

Cas 1 — Tu cherches un côté

Tu connais deux côtés et l'angle qu'ils forment. Par exemple, tu connais AB = c, AC = b, et l'angle Â entre eux. Tu veux BC = a.

Étape 1 : écris la formule avec la bonne lettre. Ici a² = b² + c² − 2·b·c·cos(Â).
Étape 2 : remplace par les valeurs numériques.
Étape 3 : calcule cos(Â) avec une valeur exacte si l'angle est remarquable, sinon avec la calculatrice en mode degré ou radian selon l'énoncé.
Étape 4 : effectue l'opération, puis prends la racine carrée positive (une longueur est positive).

Cas 2 — Tu cherches un angle

Tu connais les trois côtés a, b, c et tu veux l'angle Â. Il faut isoler cos(Â) :

cos(Â) = (b² + c² − a²) / (2·b·c)

Étape 1 : calcule numérateur et dénominateur séparément.
Étape 2 : obtiens cos(Â).
Étape 3 : utilise la fonction réciproque arccos (notée cos⁻¹ ou Acos sur la calculatrice) pour retrouver l'angle.
Étape 4 : vérifie que l'angle est cohérent avec la somme des angles du triangle (180° ou π rad).

Astuce mentale : imagine ton triangle ABC dessiné, côté a en face de A, côté b en face de B, côté c en face de C. Le côté que tu cherches ou l'angle que tu cherches doivent toujours être « en face » l'un de l'autre dans la formule. Cette règle évite 90 % des erreurs de lettres.

3. Exemple entièrement résolu

Énoncé : Dans un triangle ABC, on sait que AB = c = 7 cm, AC = b = 5 cm, et l'angle Â mesure 60°. Calculer la longueur BC = a.

Résolution détaillée :

On applique le théorème d'Al-Kashi :

a² = b² + c² − 2·b·c·cos(Â)

On remplace :

a² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 × cos(60°)

On sait que cos(60°) = 1/2 (valeur exacte, à connaître). Donc :

a² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × (1/2)

a² = 74 − 35

a² = 39

D'où a = √39 cm ≈ 6,24 cm.

Vérification rapide : √39 est bien compris entre 6 (car 6² = 36) et 7 (car 7² = 49), donc a ≈ 6,24 cm est cohérent. Le côté BC est plus petit que AB = 7 cm, ce qui est logique : l'angle Â = 60° est aigu, donc le côté opposé n'est pas très long.

Deuxième exemple (recherche d'angle) : Dans un triangle, a = BC = 8, b = AC = 6, c = AB = 5. Calculer l'angle Â.

On utilise la forme isolée :

cos(Â) = (b² + c² − a²) / (2·b·c)

cos(Â) = (36 + 25 − 64) / (2 × 6 × 5)

cos(Â) = (−3) / 60

cos(Â) = −0,05

Donc Â = arccos(−0,05) ≈ 92,87°. Le cosinus est négatif, donc l'angle est obtus (supérieur à 90°). C'est cohérent : le côté a = 8 est le plus grand, il est donc opposé au plus grand angle.

Pour t'entraîner sur des exercices similaires, jette un œil aux exercices de trigonométrie : tu y trouveras des triangles à résoudre avec Al-Kashi, la loi des sinus et les valeurs remarquables.

4. Plan de révision en 10 jours

Voici un programme réaliste, 20 à 30 minutes par jour. La clé est la régularité, pas les sessions marathon.

Jour 1 : revoir le cosinus dans le triangle rectangle et sur le cercle trigonométrique. Apprendre les valeurs remarquables (0, 30, 45, 60, 90, 120, 180 degrés).
Jour 2 : lire et recopier la formule d'Al-Kashi dans les trois versions (a², b², c²). Comprendre le lien avec Pythagore quand l'angle vaut 90°.
Jour 3 : faire 3 exercices de recherche de côté avec un angle remarquable (60°, 120°).
Jour 4 : faire 3 exercices de recherche de côté avec un angle quelconque (calculatrice).
Jour 5 : apprendre à isoler cos(Â). Faire 3 exercices de recherche d'angle.
Jour 6 : mélange : 2 recherches de côté + 2 recherches d'angle.
Jour 7 : repos actif : relire ses formules, refaire mentalement un exemple de chaque type.
Jour 8 : exercices avec des valeurs exactes (√3/2, √2/2) et des racines carrées à simplifier.
Jour 9 : problèmes concrets : distance entre deux points d'un plan, aire d'un triangle via Al-Kashi.
Jour 10 : auto-évaluation : 5 exercices chronométrés, correction immédiate.

Tu peux aussi consulter la page révisions de trigonométrie pour structurer ta progression et vérifier que tu ne sautes aucune étape.

5. Pièges fréquents à éviter

Confusion degré / radian : cos(60) n'est pas cos(60°). En radians, 60° = π/3 ≈ 1,047. Vérifie toujours le mode de ta calculatrice (DEG ou RAD).
Signe du cosinus : si l'angle est obtus (> 90°), cos(Â) est négatif. Cela signifie que le terme −2·b·c·cos(Â) devient positif et augmente a². Beaucoup d'élèves oublient ce signe.
Mauvaise lettre dans la formule : le côté a est TOUJOURS opposé à l'angle Â. Ne mets pas cos(B̂) si tu cherches a.
Oublier la racine carrée : a² = 39 ne donne pas a = 39, mais a = √39.
Utiliser Al-Kashi quand Pythagore suffit : si le triangle est rectangle, utilise directement Pythagore, c'est plus rapide.
Arrondir trop tôt : garde les valeurs exactes (1/2, √3/2) jusqu'au dernier calcul, puis arrondis au centième.

Pour aller plus loin sur la trigonométrie et les autres chapitres de maths du lycée, tu peux aussi explorer les ressources de AlloBac, notre réseau partenaire.

6. Conclusion : 10 jours pour vraiment maîtriser Al-Kashi

Le théorème d'Al-Kashi n'est pas une formule à mémoriser bêtement : c'est la généralisation du théorème de Pythagore à tous les triangles. Une fois que tu as compris que cos(Â) = 0 quand l'angle est droit, tout s'enchaîne logiquement. En 10 jours, avec 20 à 30 minutes quotidiennes, tu peux passer de « je ne sais pas par où commencer » à « je résous un triangle en deux minutes ». Concentre-toi sur les valeurs remarquables, entraîne-toi à isoler cos(Â), et vérifie toujours la cohérence de ton résultat. La trigonométrie devient simple quand les formules sont comprises, pas seulement apprises. Alors, prêt à commencer ton jour 1 ?