La fonction sinus est partout en trigonométrie : elle décrit les oscillations, modélise les phénomènes périodiques et se cache derrière presque toutes les formules du programme de Première et de Terminale. Pourtant, beaucoup d'élèves la subissent au lieu de la comprendre : ils apprennent des valeurs par cœur sans savoir d'où elles viennent, confondent degrés et radians, ou tracent une courbe sinus approximative sans maîtriser ses propriétés. Dans cet article, on reprend tout depuis la définition sur le cercle trigonométrique jusqu'à la lecture précise de la courbe, avec une méthode étape par étape et un exemple entièrement résolu. À la fin, tu sauras calculer un sinus exact, placer un point sur le cercle et reconnaître la forme d'une sinusoïde sans hésiter.
Définition exacte de la fonction sinus
Avant de parler de fonction, il faut fixer la définition géométrique du sinus d'un angle. On se place dans un repère orthonormé et on considère le cercle trigonométrique : c'est le cercle de centre O (l'origine) et de rayon 1. On oriente ce cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens direct ou sens trigonométrique.
À tout nombre réel x, on associe un unique point M du cercle trigonométrique : on parcourt une longueur x sur le cercle à partir du point I(1 ; 0), dans le sens direct si x est positif, dans le sens inverse si x est négatif. La longueur x est mesurée en radians. Le radian est l'unité naturelle d'angle : un tour complet du cercle (360°) correspond à 2π radians, un demi-tour (180°) à π radians.
On définit alors :
- cos(x) est l'abscisse du point M ;
- sin(x) est l'ordonnée du point M.
Autrement dit, le point M a pour coordonnées (cos x ; sin x). La fonction sinus est donc la fonction qui, à tout réel x, associe l'ordonnée du point M obtenu en parcourant x radians sur le cercle trigonométrique. Son domaine de définition est ℝ tout entier, et ses valeurs sont toujours comprises entre −1 et 1 : pour tout réel x, −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
Cette définition rejoint celle du triangle rectangle que tu connais depuis le collège : dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse. Les deux points de vue sont cohérents, mais la définition par le cercle trigonométrique est plus puissante car elle fonctionne pour tous les angles, y compris négatifs ou supérieurs à 360°.
La relation fondamentale
Puisque M est sur le cercle de rayon 1, ses coordonnées vérifient l'équation du cercle : x² + y² = 1. En remplaçant x par cos(x) et y par sin(x), on obtient la relation fondamentale de la trigonométrie :
cos²(x) + sin²(x) = 1
Cette formule est valable pour tout réel x. Elle sert constamment : si tu connais cos(x), tu peux retrouver sin(x) au signe près (le signe dépend du quadrant dans lequel se trouve le point M).
Méthode étape par étape pour calculer un sinus exact
Voici la démarche que tu peux appliquer systématiquement pour calculer un sinus sans calculatrice, avec une valeur exacte.
Étape 1 : repérer l'angle sur le cercle trigonométrique
Imagine le cercle trigonométrique : centre O, rayon 1, point I(1 ; 0) à droite. Le point J(0 ; 1) est en haut, I'(−1 ; 0) à gauche, J'(0 ; −1) en bas. Les angles remarquables se placent facilement :
- π/6 rad (30°) : point situé dans le premier quadrant, proche de I ;
- π/4 rad (45°) : point exactement sur la diagonale du premier quadrant ;
- π/3 rad (60°) : point plus proche de J ;
- π/2 rad (90°) : point J, d'ordonnée 1.
Pour un angle négatif comme −π/6, tu descends sous l'axe des abscisses (sens inverse). Pour un angle comme 5π/6, tu fais un demi-tour (π) puis tu ajoutes π/6 : le point se retrouve dans le deuxième quadrant, symétrique de π/6 par rapport à l'axe des ordonnées.
Étape 2 : lire l'ordonnée du point
Le sinus est l'ordonnée. Sur le cercle trigonométrique, tu peux projeter le point M horizontalement sur l'axe des ordonnées pour lire sin(x). Cette lecture visuelle t'aide à vérifier le signe : au-dessus de l'axe des abscisses, sin(x) > 0 ; en dessous, sin(x) < 0.
Étape 3 : utiliser les valeurs remarquables ou les formules
Pour les angles associés, tu utilises les formules du programme :
- sin(−x) = −sin(x) (la fonction sinus est impaire) ;
- sin(π − x) = sin(x) ;
- sin(π + x) = −sin(x) ;
- sin(π/2 − x) = cos(x).
Et pour additionner deux angles, tu appliques la formule d'addition :
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
Tu peux aussi utiliser les formules de duplication : sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
Exemple concret entièrement résolu
Calculons la valeur exacte de sin(5π/6), puis vérifions-la avec la relation fondamentale.
Étape 1 — Décomposition de l'angle. On remarque que 5π/6 = π − π/6. On utilise donc la formule des angles supplémentaires : sin(π − x) = sin(x).
sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6).
Étape 2 — Valeur remarquable. On sait que sin(π/6) = 1/2. Donc sin(5π/6) = 1/2.
Étape 3 — Vérification avec cos² + sin² = 1. Il faut d'abord connaître cos(5π/6). On utilise cos(π − x) = −cos(x), donc cos(5π/6) = −cos(π/6) = −(√3)/2. Vérifions :
cos²(5π/6) + sin²(5π/6) = (−√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. La relation fondamentale est bien vérifiée.
Étape 4 — Interprétation graphique. Le point associé à 5π/6 est dans le deuxième quadrant (entre π/2 et π). Son ordonnée est positive (1/2) et son abscisse négative (−√3/2). Cela correspond bien à un point situé en haut à gauche du cercle trigonométrique.
Autre exemple rapide : sin(7π/6) = sin(π + π/6) = −sin(π/6) = −1/2. Le point est dans le troisième quadrant, son ordonnée est négative, c'est cohérent.
Pour t'entraîner sur ce type de calcul, tu peux consulter les exercices de trigonométrie proposés sur le site.
La courbe sinus : lire et interpréter la sinusoïde
Trace un repère : en abscisse, les réels x en radians ; en ordonnée, les valeurs de sin(x). En plaçant les points obtenus en enroulant la droite réelle autour du cercle trigonométrique, on obtient la courbe sinus, appelée sinusoïde.
Voici ses propriétés essentielles, que tu dois connaître par cœur :
- Domaine : ℝ tout entier.
- Image : [−1 ; 1].
- Périodicité : sin(x + 2π) = sin(x). La courbe se répète tous les 2π.
- Parité : la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
- Zéros : sin(x) = 0 lorsque x = kπ, avec k entier relatif.
- Maximum : sin(x) = 1 lorsque x = π/2 + 2kπ.
- Minimum : sin(x) = −1 lorsque x = −π/2 + 2kπ (ou 3π/2 + 2kπ).
Sur l'intervalle [0 ; 2π], la sinusoïde commence en (0 ; 0), monte jusqu'à (π/2 ; 1), redescend, coupe l'axe en (π ; 0), atteint son minimum en (3π/2 ; −1), puis remonte pour revenir en (2π ; 0). La courbe est lisse, sans angle, et ses variations sont régulières. Sur [0 ; π/2], elle est croissante et convexe puis concave ; le tableau de variations complet se déduit de la lecture sur le cercle.
Pour approfondir la construction de cette courbe et ses transformations, le cours de trigonométrie détaille chaque étape.
Conseils de méthode et pièges fréquents
Voici les erreurs les plus courantes en trigonométrie, et comment les éviter.
Confusion degrés / radians
C'est l'erreur numéro un. En radians, π correspond à 180°. Si tu écris sin(π) = 0, c'est correct. Mais si tu écris sin(180) = 0 en pensant que 180 est en degrés, c'est faux : sin(180 rad) n'a rien à voir avec sin(180°). Vérifie toujours l'unité : au lycée, en analyse, on travaille presque exclusivement en radians. Sur ta calculatrice, vérifie le mode (DEG ou RAD) avant tout calcul.
Oublier le signe sur le cercle
Le sinus est une ordonnée. Il est positif dans les premier et deuxième quadrants (partie haute du cercle), négatif dans les troisième et quatrième quadrants. Beaucoup d'élèves retiennent sin(π/6) = 1/2 mais oublient que sin(7π/6) = −1/2. Un petit dessin du cercle avec le point placé évite cette erreur.
Confondre les formules d'addition
La formule sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b comporte un signe +, alors que cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b comporte un signe −. Ne les mélange pas. Une astuce : teste avec a = b = 0. Pour le sinus : sin(0+0) = 0 + 0 = 0, correct. Pour le cosinus : cos(0+0) = 1 − 0 = 1, correct.
Mauvaise utilisation de la relation fondamentale
cos²(x) + sin²(x) = 1 permet de trouver sin(x) à partir de cos(x), mais seulement au signe près. Il faut ensuite déterminer le signe grâce à la position de x sur le cercle. Ne conclus jamais sin(x) = √(1 − cos²(x)) sans vérifier le quadrant.
Erreur sur les valeurs remarquables
Retiens ce tableau :
- sin(0) = 0 ; sin(π/6) = 1/2 ; sin(π/4) = √2/2 ; sin(π/3) = √3/2 ; sin(π/2) = 1.
Une erreur classique est d'inverser sin(π/3) et cos(π/3) : sin(π/3) = √3/2 et cos(π/3) = 1/2. Vérifie sur le cercle : à π/3 (60°), le point est plus haut que large, donc l'ordonnée (sinus) est plus grande que l'abscisse (cosinus).
Conclusion : progresse en trigonométrie
La fonction sinus n'est pas une liste de formules à mémoriser sans comprendre. C'est une fonction définie géométriquement sur le cercle trigonométrique, dont la courbe sinus traduit visuellement la périodicité et la symétrie. En maîtrisant la définition, les valeurs remarquables, les formules d'addition et la lecture du cercle, tu résous n'importe quel exercice de trigonométrie du lycée. Pour aller plus loin, explore les ressources dédiées à la trigonométrie en Terminale et, si tu veux réviser d'autres matières scientifiques, jette un œil à AlloBac. Continue à t'entraîner : chaque exercice renforce ta compréhension du cercle et rend la courbe sinus de plus en plus familière.
