Tu connais le théorème de Pythagore, mais que se passe-t-il quand le triangle n'est plus rectangle ? C'est là qu'intervient le théorème d'Al-Kashi, aussi appelé loi des cosinus. Très utile en Première et Terminale, il généralise Pythagore à tout triangle. Mais attention : beaucoup d'élèves perdent des points à cause de pièges simples. Dans cet article, on va voir la formule exacte, la méthode pas à pas, un exemple entièrement résolu, et surtout les erreurs à ne pas commettre. Prêt ? C'est parti !
1. Le théorème d'Al-Kashi : définition et formule exacte
Le théorème d'Al-Kashi s'applique à un triangle quelconque ABC, pas forcément rectangle. On note :
- a la longueur du côté opposé au sommet A (donc BC = a)
- b la longueur du côté opposé au sommet B (donc AC = b)
- c la longueur du côté opposé au sommet C (donc AB = c)
- A, B, C les mesures des angles aux sommets correspondants, en degrés ou en radians
La formule du théorème d'Al-Kashi s'écrit :
a² = b² + c² − 2bc × cos(A)
Et de façon symétrique :
b² = a² + c² − 2ac × cos(B)
c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
Remarque importante : si l'angle A vaut 90° (π/2 rad), alors cos(A) = 0, et la formule devient a² = b² + c². C'est exactement le théorème de Pythagore ! Le théorème d'Al-Kashi est donc une généralisation.
Pour bien comprendre, rappelons la définition du cosinus dans un triangle rectangle : cos(θ) = adjacent / hypoténuse. Mais attention, cette définition ne vaut que dans un triangle rectangle. Dans la loi des cosinus, on utilise le cosinus d'un angle quelconque, défini via le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1 centré à l'origine). Sur ce cercle, si on place un point M repéré par un angle θ (en radians) à partir de l'axe des abscisses, alors cos(θ) est l'abscisse de M et sin(θ) son ordonnée. Cette définition permet de calculer le cosinus d'angles obtus (entre 90° et 180°), ce qui est indispensable pour Al-Kashi.
2. Méthode pas à pas pour appliquer le théorème d'Al-Kashi
Étape 1 : Identifier les données et l'inconnue
Tu dois repérer ce que tu connais : soit deux côtés et l'angle compris entre eux, soit les trois côtés. Le théorème d'Al-Kashi permet de :
- calculer un côté si tu connais les deux autres et l'angle compris ;
- calculer un angle si tu connais les trois côtés.
Schéma mental : dessine un triangle ABC avec A en haut, B à gauche, C à droite. Note les longueurs sur les côtés et les angles aux sommets. L'angle compris entre les côtés b et c est l'angle A.
Étape 2 : Choisir la bonne formule
Si tu cherches le côté a, utilise a² = b² + c² − 2bc cos(A). Si tu cherches l'angle A, isole cos(A) :
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)
Cette formule te donne directement le cosinus de l'angle. Ensuite, utilise la touche cos⁻¹ (ou arccos) de ta calculatrice pour trouver l'angle, en faisant attention au mode (degré ou radian).
Étape 3 : Vérifier la cohérence
Un côté doit toujours être plus petit que la somme des deux autres (inégalité triangulaire). Un angle doit être entre 0° et 180° (0 et π rad). Si tu trouves un cosinus supérieur à 1 ou inférieur à −1, c'est qu'il y a une erreur.
3. Exemple concret entièrement résolu
Soit un triangle ABC avec AB = c = 7 cm, AC = b = 5 cm, et l'angle A = 60° (π/3 rad). Calculons la longueur BC = a.
Étape 1 : On connaît b, c et l'angle A. On cherche a. On utilise : a² = b² + c² − 2bc cos(A).
Étape 2 : On remplace : a² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 × cos(60°).
Or cos(60°) = 1/2 (valeur exacte à connaître). Donc :
a² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × (1/2) = 74 − 35 = 39.
Donc a = √39 cm ≈ 6,24 cm (valeur approchée).
Vérification : 6,24 < 5 + 7 = 12, c'est bon. L'angle A = 60° est bien compris entre 0 et 180°.
Autre exemple : calculons un angle. Supposons un triangle avec a = 8 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Cherchons l'angle A.
cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc) = (36 + 49 − 64) / (2 × 6 × 7) = 21 / 84 = 1/4 = 0,25.
Donc A = arccos(0,25) ≈ 75,52° (ou environ 1,318 rad).
Tu peux retrouver d'autres exemples et t'entraîner sur nos exercices de trigonométrie.
4. Les pièges fréquents à éviter
Piège 1 : Confondre degrés et radians
La formule du théorème d'Al-Kashi utilise le cosinus d'un angle. Si tu mélanges les unités, le résultat sera faux. Par exemple, cos(60) en radians n'est pas égal à cos(60°) : cos(60 rad) ≈ −0,952. Vérifie toujours le mode de ta calculatrice (DEG ou RAD) en fonction de l'énoncé.
Piège 2 : Oublier le signe moins devant 2bc cos(A)
La formule est a² = b² + c² − 2bc cos(A). Le signe moins est essentiel. Si tu écris + 2bc cos(A), tu obtiens un résultat complètement faux. De plus, si l'angle A est obtus (supérieur à 90°), cos(A) est négatif, donc −2bc cos(A) devient positif, ce qui augmente a². C'est normal : plus l'angle est grand, plus le côté opposé est long.
Piège 3 : Utiliser Al-Kashi dans un triangle rectangle
Si le triangle est rectangle, tu peux utiliser Pythagore ou la trigonométrie de base (SOH CAH TOA). Al-Kashi fonctionne aussi mais est plus lourd. Par exemple, dans un triangle rectangle en A, avec b = 3, c = 4, a = 5, on a bien 5² = 3² + 4² − 2×3×4×cos(90°) = 9 + 16 − 0 = 25. Mais il est plus rapide d'utiliser directement Pythagore.
Piège 4 : Se tromper dans l'identification des côtés
Le côté a est opposé à l'angle A. Il ne faut pas confondre avec le côté adjacent. Dans la formule, b et c sont les deux côtés qui encadrent l'angle A. Si tu te trompes, le résultat est faux. Dessine toujours un schéma et note les longueurs.
Piège 5 : Négliger les valeurs exactes
Pour certains angles remarquables (30°, 45°, 60°), les cosinus ont des valeurs exactes : cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2. Utilise-les pour des calculs précis, surtout si l'énoncé demande une valeur exacte.
Piège 6 : Oublier de vérifier l'inégalité triangulaire
Après avoir calculé un côté, assure-toi que la longueur trouvée est compatible avec les autres côtés. Par exemple, si tu trouves a = 10 avec b = 3 et c = 4, c'est impossible car 10 > 3 + 4. Cela signifie qu'il y a une erreur quelque part.
Pour réviser ces pièges et t'entraîner, consulte nos cours de trigonométrie et nos fiches de révisions.
5. Conseils de méthode et révision
Pour maîtriser le théorème d'Al-Kashi, voici quelques conseils :
- Apprends la formule par cœur, mais comprends sa logique : c'est Pythagore corrigé par un terme en cosinus.
- Entraîne-toi à reconnaître quand l'utiliser : dès que tu as un triangle non rectangle avec deux côtés et l'angle compris, ou trois côtés.
- Vérifie toujours l'unité des angles et le mode de ta calculatrice.
- Fais des schémas clairs, même approximatifs, pour visualiser les côtés et les angles.
- Révise les valeurs remarquables du cosinus et du sinus : elles te feront gagner du temps.
Si tu veux approfondir, tu peux aussi consulter des ressources complémentaires sur AlloBac pour d'autres matières, mais reste concentré sur la trigonométrie !
6. Conclusion : progresse en trigonométrie
Le théorème d'Al-Kashi est un outil puissant pour résoudre des triangles quelconques. En évitant les pièges classiques (unités, signe, identification des côtés), tu gagneras en précision et en confiance. N'oublie pas de t'exercer régulièrement : la trigonométrie demande de la pratique. Avec de la méthode, tu verras que ce chapitre devient passionnant. Alors, à tes calculatrices !
