Qu'est-ce qu'une équation trigonométrique ?
Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît comme argument d'une fonction trigonométrique (sinus, cosinus ou tangente). Par exemple, résoudre cos x = 1/2 ou sin(2x) = √3/2. Contrairement aux équations algébriques classiques, ces équations admettent généralement une infinité de solutions, car les fonctions trigonométriques sont périodiques. Ton objectif est de trouver toutes les solutions sur un intervalle donné (souvent [0, 2π[ ou [0, π]) ou de donner l'ensemble des solutions réelles.
Pour bien aborder ce chapitre, tu dois maîtriser le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables et les formules de base. Nous allons voir ensemble une méthode systématique pour résoudre ces équations, avec des exemples concrets.
Les bases : cercle trigonométrique et valeurs remarquables
Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. Tout point M sur ce cercle correspond à un angle θ mesuré en radians à partir de l'axe des abscisses positives. Les coordonnées de M sont (cos θ, sin θ). Ainsi, cos θ est l'abscisse et sin θ est l'ordonnée. Pour résoudre cos x = a, tu cherches les points sur le cercle dont l'abscisse vaut a. De même, sin x = b correspond aux points d'ordonnée b.
Valeurs remarquables à connaître
Voici les valeurs exactes les plus fréquentes :
- cos 0 = 1, cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, cos(π/2) = 0
- sin 0 = 0, sin(π/6) = 1/2, sin(π/4) = √2/2, sin(π/3) = √3/2, sin(π/2) = 1
- cos(π) = -1, sin(π) = 0
Tu dois aussi connaître les symétries : cos(θ + π) = -cos θ, sin(θ + π) = -sin θ, cos(-θ) = cos θ, sin(-θ) = -sin θ, cos(π - θ) = -cos θ, sin(π - θ) = sin θ, etc. Ces propriétés te permettront de trouver toutes les solutions.
Méthode générale pour résoudre cos x = a
Supposons que tu doives résoudre cos x = a, où a est un nombre réel compris entre -1 et 1 (sinon, pas de solution). Voici les étapes :
- Trouver une solution particulière α : cherche un angle α tel que cos α = a. Utilise le cercle trigonométrique ou les valeurs remarquables. Par exemple, si a = 1/2, alors α = π/3 (ou 60°).
- Appliquer la symétrie : les solutions de cos x = a sont x = ± α + 2kπ, avec k ∈ ℤ. En effet, cos est paire et périodique de période 2π. Donc si α est solution, -α aussi. Et on ajoute 2π pour chaque tour.
- Restreindre à l'intervalle demandé : si on te demande les solutions dans [0, 2π[, prends k = 0 et k = 1 pour obtenir α et 2π - α (qui est équivalent à -α + 2π).
Par exemple, résoudre cos x = 1/2 dans [0, 2π[ : α = π/3, donc x = π/3 ou x = -π/3 + 2π = 5π/3. Solutions : {π/3, 5π/3}.
Cas où a n'est pas une valeur remarquable
Si a n'est pas une valeur remarquable, on utilise la fonction arccos : α = arccos(a). Les solutions sont x = ± arccos(a) + 2kπ. Par exemple, cos x = 0,3 : α ≈ 1,266 rad, donc x ≈ ±1,266 + 2kπ.
Méthode pour sin x = b
Pour sin x = b, avec b ∈ [-1, 1] :
- Trouve une solution particulière β telle que sin β = b. Par exemple, si b = √3/2, β = π/3.
- Les solutions sont x = β + 2kπ ou x = π - β + 2kπ. En effet, sin(π - β) = sin β.
- Sur [0, 2π[, les deux solutions sont β et π - β.
Exemple : sin x = 1/2 dans [0, 2π[ : β = π/6, donc x = π/6 ou x = π - π/6 = 5π/6. Solutions : {π/6, 5π/6}.
Équations plus complexes : cos(ax + b) = c
Quand l'argument est une fonction affine de x, on pose u = ax + b. On résout d'abord cos u = c, on obtient u = ± α + 2kπ, puis on remplace et on isole x.
Exemple : résoudre cos(2x - π/3) = √2/2 dans ℝ. On pose u = 2x - π/3. cos u = √2/2 ⇒ u = π/4 + 2kπ ou u = -π/4 + 2kπ. Donc 2x - π/3 = π/4 + 2kπ ou 2x - π/3 = -π/4 + 2kπ. On isole x : 2x = π/4 + π/3 + 2kπ = (3π/12 + 4π/12) + 2kπ = 7π/12 + 2kπ ⇒ x = 7π/24 + kπ. Pour l'autre : 2x = -π/4 + π/3 + 2kπ = (-3π/12 + 4π/12) + 2kπ = π/12 + 2kπ ⇒ x = π/24 + kπ. Solutions : {π/24 + kπ, 7π/24 + kπ, k ∈ ℤ}.
Astuces pour éviter les pièges
Voici les erreurs les plus fréquentes :
- Confondre degrés et radians : en trigonométrie au lycée, on travaille presque toujours en radians. Vérifie l'unité de l'énoncé. Si tu utilises ta calculatrice, mets-la en mode radian.
- Oublier la périodicité : n'oublie pas le +2kπ ou +kπ selon la fonction. Pour cos et sin, c'est +2kπ ; pour tan, c'est +kπ.
- Signes sur le cercle : cos x = a donne deux familles de solutions symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Sin x = b donne deux familles symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
- Vérifier l'intervalle : si l'énoncé demande les solutions dans [0, 2π[, n'oublie pas d'ajuster k pour que les solutions tombent dans l'intervalle.
- Ne pas confondre cos x = a et cos(ax) = a : l'astuce du changement de variable est indispensable.
Pour t'entraîner, consulte nos exercices de trigonométrie et nos cours complets. Si tu es en terminale, les équations trigonométriques sont aussi abordées dans le chapitre sur les fonctions trigonométriques, tu peux voir le programme de terminale.
Exemple résolu pas à pas : cos x = -1/2
Résolvons cos x = -1/2 dans [0, 2π[.
Étape 1 : Trouver une solution particulière. Sur le cercle trigonométrique, cos x = -1/2 correspond à un angle dont l'abscisse est -1/2. Les valeurs remarquables : cos(2π/3) = -1/2 et cos(4π/3) = -1/2. Donc α = 2π/3 (ou 120°).
Étape 2 : Appliquer la formule générale. Les solutions sont x = ± α + 2kπ, soit x = 2π/3 + 2kπ et x = -2π/3 + 2kπ.
Étape 3 : Restreindre à [0, 2π[. Pour k=0 : x = 2π/3 (dans l'intervalle) et x = -2π/3 (hors intervalle). On ajoute 2π à la seconde : -2π/3 + 2π = 4π/3. Pour k=1 : x = 2π/3 + 2π = 8π/3 (hors intervalle) et x = -2π/3 + 2π = 4π/3 (déjà obtenu). Donc les solutions sont {2π/3, 4π/3}.
Vérification : cos(2π/3) = -1/2, cos(4π/3) = -1/2. C'est correct.
Pour aller plus loin : équations avec tan x = c
La tangente est définie par tan x = sin x / cos x. L'équation tan x = c se résout avec x = arctan(c) + kπ, car tan est périodique de période π. Par exemple, tan x = 1 donne x = π/4 + kπ.
N'oublie pas les domaines d'existence : tan x est définie pour x ≠ π/2 + kπ.
Pour approfondir, tu peux aussi consulter AlloBac pour des ressources complémentaires.
Conclusion
Résoudre une équation trigonométrique devient simple si tu suis la méthode : repère le type (cos, sin, tan), trouve une solution particulière grâce au cercle trigonométrique, applique les symétries et la périodicité, puis restreins à l'intervalle demandé. Entraîne-toi régulièrement avec des exercices variés pour automatiser ces gestes. La trigonométrie est un chapitre clé au lycée, notamment pour le bac. Continue à progresser et n'hésite pas à revenir sur les bases si nécessaire.
