Résoudre une équation trigonométrique, comme cos x = 0,5 ou sin(2x) = √2/2, est une compétence clé en trigonométrie au lycée. Dans ce guide complet, tu vas apprendre la méthode exacte pour trouver toutes les solutions, que ce soit dans l'ensemble des réels ou sur un intervalle précis. On va revoir les définitions essentielles, puis appliquer une démarche pas à pas sur des exemples concrets. Prêt à maîtriser les équations trigonométriques ? C'est parti !
1. Les bases indispensables : cercle trigonométrique et valeurs remarquables
Avant de se lancer dans la résolution, il est crucial de bien comprendre l'outil principal : le cercle trigonométrique. C'est un cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un repère orthonormé. Sur ce cercle, chaque point est repéré par un angle, mesuré en radians. Par convention, le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Pour un angle x, le point correspondant sur le cercle a pour coordonnées (cos x, sin x). Autrement dit :
- cos x est l'abscisse de ce point.
- sin x est l'ordonnée de ce point.
Par exemple, pour x = π/3 (soit 60°), le point sur le cercle est à une distance horizontale de 1/2 et verticale de √3/2. Ainsi, cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2.
Il est indispensable de connaître par cœur les valeurs remarquables suivantes (en radians) :
- cos(0) = 1, sin(0) = 0
- cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2
- cos(π/4) = √2/2, sin(π/4) = √2/2
- cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2
- cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1
- cos(π) = -1, sin(π) = 0
Ces valeurs te serviront à trouver des solutions exactes. Par exemple, si tu dois résoudre cos x = 1/2, tu sais qu'une solution est x = π/3.
Autre relation fondamentale : pour tout angle x, on a cos²(x) + sin²(x) = 1. Cette formule est souvent utilisée pour transformer une équation.
2. Résoudre une équation du type cos x = a
Lorsqu'on te demande de résoudre une équation trigonométrique, il faut trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l'égalité. Commençons par le cas le plus simple : cos x = a, où a est un nombre réel.
La méthode repose sur le cercle trigonométrique. Pour une valeur de a comprise entre -1 et 1, il existe généralement deux points sur le cercle dont l'abscisse est a. Ces deux points correspondent à deux angles : un angle α et son opposé -α (ou 2π - α).
Plus précisément :
- Si a est strictement compris entre -1 et 1, il existe un angle α ∈ [0, π] tel que cos α = a. Alors toutes les solutions sont : x = α + 2kπ ou x = -α + 2kπ, avec k ∈ ℤ.
- Si a = 1, alors x = 2kπ.
- Si a = -1, alors x = π + 2kπ.
- Si a > 1 ou a < -1, l'équation n'a aucune solution (car le cosinus est toujours entre -1 et 1).
Cette expression avec +2kπ traduit la périodicité de la fonction cosinus : ajouter 2π à un angle revient à faire un tour complet sur le cercle, donc on retombe sur le même point.
Exemple : résoudre cos x = 1/2 dans ℝ.
On sait que cos(π/3) = 1/2, donc α = π/3. Les solutions sont :
- x = π/3 + 2kπ
- x = -π/3 + 2kπ, soit x = 5π/3 + 2kπ (car -π/3 + 2π = 5π/3), mais on peut aussi garder -π/3.
On écrit donc : S = {π/3 + 2kπ, -π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ}.
3. Résoudre une équation du type sin x = a
De même, pour sin x = a, on utilise l'ordonnée sur le cercle trigonométrique. Si a ∈ [-1, 1], il existe un angle α ∈ [-π/2, π/2] tel que sin α = a. Alors les solutions sont :
- x = α + 2kπ
- x = π - α + 2kπ
Pourquoi π - α ? Parce que sin(π - α) = sin α. Sur le cercle, cela correspond à la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Exemple : résoudre sin x = √2/2 dans ℝ.
On sait que sin(π/4) = √2/2, donc α = π/4. Les solutions sont :
- x = π/4 + 2kπ
- x = π - π/4 + 2kπ = 3π/4 + 2kπ
Donc S = {π/4 + 2kπ, 3π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ}.
Si a n'est pas une valeur remarquable, on utilise la fonction réciproque : par exemple, pour cos x = 0,3, on note α = arccos(0,3) (ou cos⁻¹ sur la calculatrice). Les solutions sont alors x = arccos(0,3) + 2kπ et x = -arccos(0,3) + 2kπ. Mais au lycée, on se limite souvent aux valeurs remarquables.
4. Équations plus complexes : avec des fonctions composées
Les équations trigonométriques ne sont pas toujours aussi directes. On peut avoir des expressions comme cos(2x) = 1/2, ou sin(x + π/4) = 1, ou encore des équations mélangeant cos et sin. La stratégie consiste à se ramener à une forme simple en posant une nouvelle variable.
4.1 Équation du type cos(u) = a ou sin(u) = a
Si on a cos(2x) = 1/2, on pose X = 2x. On résout d'abord cos X = 1/2, ce qui donne X = π/3 + 2kπ ou X = -π/3 + 2kπ. Ensuite, on revient à x : 2x = π/3 + 2kπ ⇒ x = π/6 + kπ. De même, 2x = -π/3 + 2kπ ⇒ x = -π/6 + kπ. Attention : ici, la période est π, car on a multiplié l'angle par 2.
Exemple concret : résoudre cos(2x) = 1/2 dans ℝ.
Étape 1 : résoudre cos X = 1/2 avec X = 2x. On a X = π/3 + 2kπ ou X = -π/3 + 2kπ.
Étape 2 : remplacer X par 2x et diviser par 2 :
- 2x = π/3 + 2kπ ⇒ x = π/6 + kπ
- 2x = -π/3 + 2kπ ⇒ x = -π/6 + kπ
Donc les solutions sont x = π/6 + kπ et x = -π/6 + kπ, avec k ∈ ℤ.
4.2 Équations avec des carrés : cos²(x) = a
Pour résoudre cos²(x) = 1/4, on peut utiliser la relation cos²(x) = (1 + cos(2x))/2, ou plus simplement prendre la racine carrée en faisant attention au signe. En effet, cos²(x) = 1/4 équivaut à cos x = 1/2 ou cos x = -1/2. On résout alors chaque équation séparément.
Pour cos x = 1/2, on a x = π/3 + 2kπ ou -π/3 + 2kπ. Pour cos x = -1/2, on a x = 2π/3 + 2kπ ou -2π/3 + 2kπ. L'ensemble des solutions est l'union de ces quatre familles.
4.3 Équations du type a cos x + b sin x = c
Ce type d'équation est plus avancé, souvent vu en terminale. On peut la résoudre en transformant l'expression en une seule fonction sinus ou cosinus à l'aide de la formule d'addition. Par exemple, cos x + sin x = 1 peut s'écrire √2 cos(x - π/4) = 1, car cos(x - π/4) = (√2/2)(cos x + sin x). Ensuite, on résout cos(x - π/4) = 1/√2.
Mais ne t'inquiète pas, au lycée, on te guidera souvent. L'important est de maîtriser les cas de base.
5. Résoudre sur un intervalle donné
Souvent, on ne demande pas toutes les solutions dans ℝ, mais seulement celles qui appartiennent à un intervalle, par exemple [0, 2π[. Dans ce cas, après avoir trouvé les solutions générales, on teste différentes valeurs de k pour voir lesquelles tombent dans l'intervalle.
Exemple : résoudre sin x = 1/2 dans [0, 2π[.
Les solutions générales sont x = π/6 + 2kπ et x = 5π/6 + 2kπ. Pour k = 0, on obtient π/6 et 5π/6, qui sont dans l'intervalle. Pour k = 1, on a π/6 + 2π = 13π/6 > 2π, donc hors intervalle. De même, 5π/6 + 2π dépasse. Donc les solutions sont π/6 et 5π/6.
Il est essentiel de bien visualiser le cercle trigonométrique pour ne pas oublier des solutions. Par exemple, pour cos x = 1/2, dans [0, 2π[, les solutions sont π/3 et 5π/3. Beaucoup d'élèves oublient 5π/3 car ils pensent seulement à l'angle positif.
6. Pièges fréquents et conseils de méthode
Voici les erreurs les plus courantes et comment les éviter :
- Confondre degrés et radians : en trigonométrie au lycée, on travaille presque toujours en radians. Assure-toi que ta calculatrice est réglée sur RAD. Par exemple, cos(π/3) = 0,5, mais si tu es en degrés, cos(60°) = 0,5 aussi, mais les formules de dérivation et les limites utilisent les radians.
- Oublier les solutions négatives : pour cos x = a, n'oublie pas le -α. Beaucoup d'élèves ne donnent que α + 2kπ.
- Oublier la périodicité : si tu donnes seulement une solution, tu en rates une infinité. Ajoute toujours le +2kπ (ou +kπ si l'angle est doublé).
- Mal gérer les intervalles : quand on restreint à un intervalle, il faut tester plusieurs valeurs de k, pas seulement k=0. Par exemple, pour x = π/6 + 2kπ, si l'intervalle est [-2π, 2π], k peut être -1, 0, 1.
- Confondre cos x = a et sin x = a : les solutions ne sont pas les mêmes. Pour cos, on a α et -α ; pour sin, on a α et π-α.
- Ne pas vérifier si a est dans [-1,1] : si a = 2, il n'y a pas de solution. Pense à vérifier avant de te lancer.
Pour t'entraîner, tu peux consulter les exercices de trigonométrie sur AlloTrigonometrie, ou revoir les cours de trigonométrie. Si tu es en terminale, les équations trigonométriques sont souvent combinées avec l'étude de fonctions, comme expliqué sur la page dédiée trigonométrie en terminale.
7. Exemple complet pas à pas
Prenons un exemple complet qui mélange plusieurs étapes : résoudre dans ℝ l'équation 2 sin²(x) - sin(x) - 1 = 0.
Étape 1 : poser X = sin(x). L'équation devient 2X² - X - 1 = 0.
Étape 2 : résoudre cette équation du second degré. Le discriminant est Δ = (-1)² - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9. Donc X = (1 ± 3)/4, soit X = 1 ou X = -1/2.
Étape 3 : revenir à sin(x). On a deux cas : sin(x) = 1 ou sin(x) = -1/2.
Cas 1 : sin(x) = 1. On sait que sin(π/2) = 1, donc x = π/2 + 2kπ.
Cas 2 : sin(x) = -1/2. On cherche α tel que sin(α) = -1/2. On sait que sin(-π/6) = -1/2, donc α = -π/6 (ou 7π/6). Les solutions sont x = -π/6 + 2kπ ou x = π - (-π/6) + 2kπ = 7π/6 + 2kπ.
Finalement, l'ensemble des solutions est : S = {π/2 + 2kπ, -π/6 + 2kπ, 7π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ}.
Cet exemple montre l'importance de savoir résoudre des équations du second degré et de connaître les valeurs remarquables.
8. Pour aller plus loin : les fonctions réciproques
Au lycée, on n'étudie pas officiellement les fonctions arccos, arcsin et arctan, mais il est utile de savoir qu'elles existent pour donner une valeur approchée. Par exemple, pour résoudre cos x = 0,4, on peut écrire x = arccos(0,4) + 2kπ ou x = -arccos(0,4) + 2kπ. Sur ta calculatrice, tu as les touches cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹.
Cependant, dans les exercices de lycée, on te demande presque toujours des valeurs exactes. Donc concentre-toi sur les valeurs remarquables et sur la méthode géométrique.
Conclusion
Résoudre une équation trigonométrique repose sur une bonne connaissance du cercle trigonométrique et des valeurs remarquables. La méthode générale est simple : identifier le type d'équation (cos x = a, sin x = a, ou une combinaison), trouver une solution particulière α, puis écrire toutes les solutions avec la périodicité. N'oublie pas de vérifier que a est entre -1 et 1, et de bien gérer les intervalles si on te les donne.
Avec de la pratique, tu verras que c'est un jeu d'enfant. N'hésite pas à t'entraîner avec les exercices corrigés et à revoir les fiches de cours. Si tu as besoin d'aide pour d'autres matières, tu peux aussi consulter AlloBac. Continue comme ça, et tu deviendras un as de la trigonométrie !
