Quelle est la dérivée de sin(x) et de cos(x) ?

Pour tout réel x, la dérivée de sin(x) est cos(x) et la dérivée de cos(x) est −sin(x). Attention au signe moins devant sin(x) : c'est l'erreur la plus fréquente. Ces formules supposent que x est exprimé en radians.

Pourquoi la dérivée de cos(x) est-elle −sin(x) et non sin(x) ?

Sur le cercle trigonométrique, le point M(x) = (cos x ; sin x) se déplace dans le sens direct. Son vecteur vitesse est (−sin x ; cos x). En identifiant avec la dérivée coordonnée par coordonnée, on obtient (cos x)' = −sin x et (sin x)' = cos x. Le signe moins traduit le fait que l'abscisse de M diminue quand x augmente au voisinage de 0.

Comment dériver une fonction du type sin(u(x)) ?

On applique la formule de la composée : (sin u)' = u' · cos(u). Par exemple, pour f(x) = sin(3x + π/4), on pose u(x) = 3x + π/4, donc u'(x) = 3, et f'(x) = 3·cos(3x + π/4). De même, (cos u)' = −u' · sin(u).

Quelle est la dérivée de tan(x) ?

Sur tout intervalle où cos(x) ≠ 0, la dérivée de tan(x) est 1/cos²(x), ce qui est aussi égal à 1 + tan²(x). On l'obtient en écrivant tan(x) = sin(x)/cos(x) et en appliquant la formule du quotient, puis l'identité cos²(x) + sin²(x) = 1.

Faut-il travailler en degrés ou en radians pour dériver ?

Toujours en radians. Les formules (sin x)' = cos x et (cos x)' = −sin x reposent sur la limite lim (sin h)/h = 1 quand h tend vers 0, qui n'est vraie qu'avec h en radians. Si tu utilises des degrés, un facteur π/180 apparaît dans les dérivées. Convertis donc systématiquement : π rad = 180°.

Comment dériver cos²(x) ou sin²(x) ?

On écrit cos²(x) = (cos x)² et on applique la dérivation d'une puissance composée : (u²)' = 2u·u'. Donc (cos²(x))' = 2·cos x·(−sin x) = −2 sin x cos x = −sin(2x). De même, (sin²(x))' = 2 sin x cos x = sin(2x).

Dérivée cosinus sinus : le guide complet

Tu es en Terminale spécialité maths et tu abordes enfin la dérivée des fonctions trigonométriques. Bonne nouvelle : les formules sont courtes, et une fois comprises, elles deviennent des réflexes. Mais attention, la dérivée de sin(x) n'est pas cos(x) « par magie » : elle repose sur une limite fondamentale et sur le cercle trigonométrique. Dans ce guide, on va tout reprendre proprement : définitions exactes, formules, démonstration de l'intuition, exemples entièrement résolus et pièges classiques. À la fin, tu sauras dériver n'importe quelle expression du type sin(3x + π/4), cos²(x) ou x·sin(x) sans hésiter.

1. Rappels : sinus, cosinus et tangente sur le cercle trigonométrique

Avant de dériver, il faut être au clair sur ce qu'on dérive. On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. On parcourt ce cercle dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Soit x un réel. On place sur le cercle le point M tel que l'angle (OI, OM) mesure x radians. Alors, par définition :

cos(x) est l'abscisse de M ;
sin(x) est l'ordonnée de M.

Autrement dit, M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)). Comme M est sur le cercle de rayon 1, on a immédiatement la relation fondamentale :

cos²(x) + sin²(x) = 1 pour tout réel x.

La tangente est définie par tan(x) = sin(x) / cos(x), pour tous les réels x où cos(x) ≠ 0, c'est-à-dire x ≠ π/2 + kπ avec k entier relatif.

Retiens quelques valeurs remarquables qui reviendront partout dans les exercices de cours de trigonométrie :

cos(0) = 1, sin(0) = 0 ;
cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2 ;
cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2 ;
cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2 ;
cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1.

Ces valeurs sont exactes : ne les remplace jamais par des arrondis décimaux dans une copie.

2. Les formules de dérivation à connaître par cœur

Voici le cœur du chapitre. Pour tout réel x :

La dérivée de sin(x) est cos(x) : (sin x)' = cos x.
La dérivée de cos(x) est −sin(x) : (cos x)' = −sin x.

Attention au signe moins devant sin(x) : c'est la source d'erreur numéro un. Pour la tangente, sur tout intervalle où cos(x) ≠ 0 :

(tan x)' = 1 / cos²(x) = 1 + tan²(x).

Ces formules se combinent avec les règles de dérivation classiques :

Dérivée d'une composée : (sin(u))' = u' · cos(u) et (cos(u))' = −u' · sin(u), où u est une fonction dérivable.
Dérivée d'un produit : (u·v)' = u'·v + u·v'.
Dérivée d'un quotient : (u/v)' = (u'·v − u·v') / v².

La formule de la composée est celle que tu utiliseras le plus en Terminale spécialité, car les fonctions trigonométriques apparaissent presque toujours avec un coefficient ou un décalage.

3. Pourquoi (sin x)' = cos x ? L'intuition géométrique

Tu n'as pas à reproduire cette démonstration au bac, mais la comprendre évite d'apprendre bêtement. Reviens au cercle trigonométrique : le point M(x) = (cos x ; sin x) se déplace sur le cercle quand x augmente. Sa vitesse de déplacement est un vecteur tangent au cercle.

Or, en un point M du cercle de rayon 1, le vecteur tangent unitaire dirigé dans le sens direct a pour coordonnées (−sin x ; cos x). C'est un résultat de géométrie : la tangente en M est perpendiculaire au rayon OM, et son orientation dépend du sens de parcours.

Si on note M'(x) le vecteur vitesse, alors :

M'(x) = (−sin x ; cos x).

Mais M(x) = (cos x ; sin x), donc en dérivant coordonnée par coordonnée :

M'(x) = ((cos x)' ; (sin x)').

En identifiant, on obtient (cos x)' = −sin x et (sin x)' = cos x. Ces formules ne sont pas arbitraires : elles traduisent le fait que le point tourne sur le cercle. Le signe moins sur la dérivée du cosinus vient du fait que, lorsque x augmente à partir de 0, l'abscisse de M diminue.

Pour la limite fondamentale qui sous-tend tout cela, on utilise :

lim (sin h)/h = 1 quand h tend vers 0, avec h en radians.

C'est précisément pour cette raison que l'on travaille en radians en analyse : en degrés, cette limite vaudrait π/180, et les formules de dérivation seraient polluées par un facteur constant. Les radians sont l'unité naturelle du calcul différentiel trigonométrique.

4. Exemples entièrement résolus

Exemple 1 : dériver f(x) = sin(3x + π/4)

On pose u(x) = 3x + π/4. Alors u'(x) = 3. D'après la formule (sin u)' = u' · cos u :

f'(x) = 3 · cos(3x + π/4).

Application numérique : pour x = 0, f'(0) = 3 · cos(π/4) = 3 · √2/2 = (3√2)/2. Valeur exacte, pas d'arrondi.

Exemple 2 : dériver g(x) = cos²(x)

On écrit g(x) = (cos x)². C'est de la forme u² avec u = cos x. Donc g'(x) = 2 · u · u' = 2 · cos x · (−sin x) = −2 sin x cos x.

On peut aussi utiliser l'identité sin(2x) = 2 sin x cos x, ce qui donne g'(x) = −sin(2x). Les deux écritures sont correctes.

Vérification en x = 0 : g'(0) = −2 · sin(0) · cos(0) = 0. Or g(x) = cos²(x) atteint un maximum en 0, sa dérivée doit être nulle : c'est cohérent.

Exemple 3 : dériver h(x) = x · sin(x)

Produit u·v avec u(x) = x et v(x) = sin(x). Donc u'(x) = 1 et v'(x) = cos(x).

h'(x) = 1 · sin(x) + x · cos(x) = sin(x) + x·cos(x).

En x = π/2 : h'(π/2) = sin(π/2) + (π/2)·cos(π/2) = 1 + (π/2)·0 = 1.

Exemple 4 : dériver k(x) = tan(x)

On écrit tan(x) = sin(x)/cos(x). Avec la formule du quotient, u = sin x, v = cos x, u' = cos x, v' = −sin x :

k'(x) = (cos x · cos x − sin x · (−sin x)) / cos²(x) = (cos²(x) + sin²(x)) / cos²(x).

Or cos²(x) + sin²(x) = 1. Donc :

k'(x) = 1 / cos²(x).

C'est exactement la formule annoncée. En x = 0 : k'(0) = 1/cos²(0) = 1/1 = 1. En x = π/4 : k'(π/4) = 1 / (√2/2)² = 1 / (1/2) = 2.

5. Méthode et pièges fréquents en dérivée trigonométrique

Méthode en 4 étapes

Identifie la structure : composée, produit, quotient, ou combinaison.
Repère la fonction intérieure u(x) et calcule u'(x).
Applique la formule adaptée sans oublier le facteur u'.
Simplifie avec les identités trigonométriques si possible (cos² + sin² = 1, formules de duplication).

Pièges à éviter absolument

Oublier le signe moins : (cos x)' = −sin x, pas sin x. Écris-le en rouge dans ta fiche si nécessaire.
Oublier le facteur u' dans (sin u)' = u'·cos u. Si u(x) = 5x, le 5 doit apparaître.
Mélanger degrés et radians : toutes les formules de dérivation supposent x en radians. Un angle en degrés doit être converti (π rad = 180°).
Confondre la dérivée et la valeur de la fonction : sin'(π/2) = cos(π/2) = 0, alors que sin(π/2) = 1. Ce sont deux objets différents.
Dériver tan x comme un quotient sans simplifier : tu obtiendras une expression correcte mais non simplifiée, et tu perdras des points.
Négliger le domaine de validité : tan x n'est dérivable que là où cos x ≠ 0.

Pour t'entraîner, travaille les exercices progressifs proposés sur les exercices de trigonométrie : commence par des dérivées simples, puis enchaîne sur des composées et des produits. La régularité vaut mieux que le bachotage.

Si tu veux aussi consolider les prérequis d'analyse (limites, continuité, dérivation générale), le site AlloBac propose des fiches complémentaires utiles pour le bac.

6. Conclusion : faire de la dérivée trigonométrique un réflexe

La dérivée cosinus sinus n'est pas un chapitre isolé : elle relie le cercle trigonométrique, les formules d'addition, les identités remarquables et l'analyse. En Terminale spécialité, elle apparaît dans l'étude de fonctions périodiques, dans les équations différentielles du type y'' + ω²y = 0, et dans de nombreux problèmes de modélisation (oscillations, ondes, signaux).

Ton objectif est simple : connaître par cœur les trois formules de base — (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (tan x)' = 1/cos²(x) — et savoir les combiner avec la règle de la composée. Entraîne-toi à dériver dix expressions différentes par jour pendant une semaine : sin(2x), cos(x²), sin(x)·cos(x), tan(3x), etc. Tu verras qu'au bout de quelques jours, ces calculs deviennent automatiques. Ce chapitre est l'un des plus rentables du programme : peu de formules, beaucoup de points au bac. Alors prends le temps de bien le maîtriser, et n'hésite pas à revenir sur les rappels du cercle trigonométrique dès qu'un signe te semble douteux.