La fonction sinus est l'une des fonctions trigonométriques les plus importantes. Que tu sois en Seconde, en Première ou en Terminale, tu la retrouveras dans de nombreux chapitres : équations trigonométriques, dérivées, limites, suites, ou encore physique (ondes, oscillations). Pourtant, beaucoup d'élèves la trouvent abstraite parce qu'on la présente souvent comme une simple touche de calculatrice. Dans cet article, on va vraiment la comprendre : d'où elle vient, comment elle se représente, et comment l'utiliser sans se tromper. On va construire la courbe sinus étape par étape, avec des exemples chiffrés.
1. La fonction sinus : définition exacte et lien avec le cercle trigonométrique
Pour bien comprendre la fonction sinus, il faut d'abord se placer sur le cercle trigonométrique. C'est un cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un repère orthonormé. On y repère un point M défini par un angle orienté θ, mesuré en radians (unité naturelle en trigonométrie).
Par définition, pour un angle θ :
- Le cosinus de θ, noté cos(θ), est l'abscisse du point M.
- Le sinus de θ, noté sin(θ), est l'ordonnée du point M.
Ainsi, le sinus d'un angle est un nombre réel compris entre -1 et 1. On écrit : pour tout réel θ, -1 ≤ sin(θ) ≤ 1.
La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x (mesure d'angle en radians), associe le nombre sin(x). On la note : f(x) = sin(x). Son ensemble de définition est ℝ (tous les réels), car tout angle a un sinus.
Lien avec le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu α est défini par :
sin(α) = côté opposé / hypoténuse.
C'est la définition vue au collège. Mais au lycée, on généralise cette notion à tous les angles (y compris obtus, négatifs, supérieurs à 2π) grâce au cercle trigonométrique. Par exemple, sin(π/6) = 1/2, car dans un triangle rectangle dont un angle vaut π/6 (30°), le côté opposé mesure la moitié de l'hypoténuse.
2. Les valeurs remarquables à connaître par cœur
Pour tracer la courbe sinus et résoudre des équations, il est indispensable de connaître les valeurs exactes du sinus pour les angles usuels. Voici le tableau des valeurs à retenir (en radians) :
- sin(0) = 0
- sin(π/6) = 1/2
- sin(π/4) = √2/2
- sin(π/3) = √3/2
- sin(π/2) = 1
Pour les angles associés, on utilise la symétrie du cercle : sin(π - x) = sin(x), sin(π + x) = -sin(x), sin(-x) = -sin(x), sin(2π - x) = -sin(x). Par exemple, sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2, car 5π/6 = π - π/6.
3. Propriétés de la fonction sinus : périodicité et parité
La fonction sinus possède deux propriétés fondamentales :
- Périodicité : pour tout réel x, sin(x + 2π) = sin(x). On dit que la fonction est périodique de période 2π. Cela signifie que sa courbe se répète identiquement tous les 2π.
- Parité : pour tout réel x, sin(-x) = -sin(x). La fonction est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Ces propriétés sont très utiles pour tracer la courbe et pour résoudre des équations. Par exemple, pour résoudre sin(x) = 1/2, on sait que les solutions sur ℝ sont : x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, avec k entier relatif.
4. La courbe de la fonction sinus : comment la tracer et à quoi elle ressemble
La représentation graphique de la fonction sinus s'appelle une sinusoïde. Pour la tracer, on place les points correspondant aux valeurs remarquables, puis on les relie par une courbe lisse.
Décrivons le tracé en mots : sur l'axe des abscisses, on gradue en multiples de π (par exemple -2π, -3π/2, -π, -π/2, 0, π/2, π, 3π/2, 2π). Sur l'axe des ordonnées, on gradue de -1 à 1. On place les points : (0,0), (π/2,1), (π,0), (3π/2,-1), (2π,0). Ensuite, on relie ces points en formant une vague régulière qui passe par ces points, en respectant la symétrie impaire et la périodicité.
La courbe sinus a une amplitude de 1 (elle oscille entre -1 et 1), une période de 2π, et elle coupe l'axe des abscisses en x = kπ (k entier relatif).
Étude sur un intervalle : variations
Sur l'intervalle [0, 2π], la fonction sinus est croissante sur [0, π/2], décroissante sur [π/2, 3π/2], puis croissante sur [3π/2, 2π]. Elle atteint son maximum 1 en x = π/2 et son minimum -1 en x = 3π/2.
5. Exemple concret entièrement résolu : calculer sin(7π/6) et tracer un point
Prenons un exemple pour appliquer tout ça. On veut calculer la valeur exacte de sin(7π/6).
Étape 1 : On remarque que 7π/6 = π + π/6. On utilise la formule des angles associés : sin(π + x) = -sin(x). Donc sin(7π/6) = -sin(π/6).
Étape 2 : On sait que sin(π/6) = 1/2. Donc sin(7π/6) = -1/2.
Vérification graphique : Sur le cercle trigonométrique, l'angle 7π/6 correspond à 210° (car 180° + 30°). Le point M a une ordonnée négative, et on trouve bien -1/2.
Autre exemple : résoudre l'équation sin(x) = √3/2 dans [0, 2π].
On sait que sin(π/3) = √3/2. Par symétrie, sin(2π/3) = sin(π - π/3) = sin(π/3) = √3/2. Donc les solutions sont x = π/3 et x = 2π/3.
6. Conseils de méthode et pièges à éviter
Confusion degrés/radians
Un piège classique : oublier de mettre sa calculatrice en mode radians quand on travaille en radians. En mathématiques au lycée, on utilise presque toujours les radians. Par exemple, sin(π) = 0, mais si ta calculatrice est en degrés, elle te donnera sin(π°) ≈ 0,0548. Toujours vérifier le mode.
Signe du sinus selon le quadrant
Le sinus est positif dans le premier et le deuxième quadrant (angles entre 0 et π), négatif dans le troisième et le quatrième (angles entre π et 2π). Pour t'en souvenir, imagine le cercle trigonométrique : l'axe des ordonnées est positif en haut, négatif en bas.
Ne pas confondre sinus et cosinus
Le sinus correspond à l'ordonnée, le cosinus à l'abscisse. Beaucoup d'élèves confondent les deux. Astuce : dans le mot « sinus », il y a un « i » qui peut t'évoquer l'axe vertical (imagine un « i » dressé), et dans « cosinus », un « o » qui évoque l'axe horizontal. Mais le plus sûr est de se repérer sur le cercle.
Utiliser les formules de dérivation
En Première et Terminale, tu devras dériver la fonction sinus. La dérivée de sin(x) est cos(x). Par exemple, si f(x) = sin(2x), alors f'(x) = 2cos(2x) (dérivée d'une fonction composée). Attention à ne pas oublier le facteur 2.
Résoudre des équations trigonométriques
Quand tu résous sin(x) = a, il faut toujours penser à la périodicité. Les solutions sont de la forme x = α + 2kπ ou x = π - α + 2kπ, où α est une solution particulière. Par exemple, sin(x) = 0 donne x = kπ.
7. Pour aller plus loin : liens entre sinus et cosinus
Il existe une relation fondamentale : pour tout réel x, cos²(x) + sin²(x) = 1. Cette formule est très utile pour simplifier des expressions ou résoudre des équations. Par exemple, si sin(x) = 1/2, alors cos²(x) = 1 - (1/2)² = 3/4, donc cos(x) = ±√3/2 selon le quadrant.
De plus, on a les formules d'addition : sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) et sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b). Ces formules sont au programme de Terminale et permettent de calculer des valeurs exactes comme sin(π/12) = sin(π/3 - π/4) = (√6 - √2)/4.
Pour t'entraîner, n'hésite pas à consulter les exercices de trigonométrie sur notre site. Tu y trouveras des problèmes progressifs pour maîtriser la fonction sinus. Si tu es en Terminale, le chapitre sur les fonctions trigonométriques est aussi détaillé. Et pour revoir les bases, le cours de trigonométrie est là pour toi.
Conclusion
La fonction sinus n'est finalement pas si mystérieuse : elle est définie à partir du cercle trigonométrique, possède des propriétés de périodicité et de parité, et sa courbe est une vague régulière. En connaissant les valeurs remarquables et en t'entraînant sur des exemples, tu seras capable de la manipuler sans difficulté. La trigonométrie est un domaine très riche qui te servira dans de nombreux chapitres de mathématiques et de physique. Alors, prends le temps de bien comprendre ces bases, et tu verras que tout devient plus simple. N'oublie pas : la pratique est la clé. Si tu as besoin de ressources supplémentaires, le site AlloBac propose aussi des fiches de révision pour le bac.
