Tu as déjà rencontré les formules d'addition en trigonométrie, peut-être en voyant cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b sans vraiment comprendre d'où elle sort. Rassure-toi : ce n'est pas une formule magique à apprendre par cœur. Elle se démontre, se visualise sur le cercle trigonométrique et s'utilise partout, du calcul de valeurs exactes à la résolution d'équations. Dans cet article, on va décortiquer ensemble les formules d'addition, comprendre leur logique, et les appliquer sur des exemples chiffrés entièrement résolus. À la fin, tu sauras non seulement les réciter, mais surtout les utiliser sans te tromper de signe.
Rappels : sinus, cosinus et cercle trigonométrique
Avant d'attaquer les formules d'addition, il faut être au clair sur les définitions. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé. On parcourt ce cercle dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). À chaque point M du cercle correspond un angle orienté noté x, mesuré en radians (un tour complet vaut 2π radians, soit 360°).
Par définition, si M est le point du cercle trigonométrique associé à l'angle x, alors :
- cos(x) est l'abscisse de M ;
- sin(x) est l'ordonnée de M.
On a donc toujours −1 ≤ cos(x) ≤ 1 et −1 ≤ sin(x) ≤ 1, et l'identité fondamentale :
cos²(x) + sin²(x) = 1 pour tout réel x.
La tangente est définie par tan(x) = sin(x) / cos(x), pour tous les x où cos(x) ≠ 0, c'est-à-dire x ≠ π/2 + kπ avec k entier relatif. Sur le cercle, tan(x) correspond à l'ordonnée du point d'intersection de la droite (OM) avec la tangente verticale au cercle au point (1 ; 0).
Quelques valeurs remarquables à connaître par cœur : cos(0) = 1, sin(0) = 0 ; cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2 ; cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2 ; cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2 ; cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1. Si ces valeurs te posent problème, un détour par les cours de trigonométrie du site t'aidera à les fixer.
Les formules d'addition : énoncé exact
Pour tous réels a et b, on a les quatre formules fondamentales :
- cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
- cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Et pour la tangente, lorsque cos(a + b) ≠ 0 :
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b), à condition que 1 − tan a tan b ≠ 0 et que tan a et tan b soient définies.
On a aussi tan(a − b) = (tan a − tan b) / (1 + tan a tan b).
Remarque essentielle : dans cos(a + b), c'est un moins qui apparaît, alors que dans sin(a + b), c'est un plus. Ce « croisement » des signes est la source d'erreur numéro un. Retiens la phrase : « cosinus, c'est le contraire ; sinus, c'est pareil ».
D'où viennent ces formules ?
On peut les démontrer proprement avec le cercle trigonométrique. Place le point A associé à l'angle a et le point B associé à l'angle b. Le point C associé à l'angle a + b s'obtient en composant les deux rotations. En calculant les coordonnées de C par deux méthodes (rotation directe, puis projection sur les axes), on retrouve exactement cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. Une autre démonstration utilise le produit scalaire de deux vecteurs unitaires : le produit scalaire de u(cos a ; sin a) et v(cos b ; sin b) vaut cos(a − b), ce qui donne la formule de cos(a − b) après développement. Les formules d'addition sont donc une conséquence directe de la géométrie du cercle.
Méthode pas à pas : appliquer une formule d'addition
Voici la démarche à suivre systématiquement face à une expression du type cos(a + b), sin(a − b) ou tan(a + b).
Étape 1 : identifier les angles a et b
Repère les deux angles présents dans l'expression. Par exemple, dans cos(π/12), tu peux écrire π/12 = π/3 − π/4, donc a = π/3 et b = π/4. Choisis toujours des angles dont tu connais les valeurs exactes de cosinus et sinus.
Étape 2 : choisir la bonne formule
Selon l'expression (somme ou différence, cosinus ou sinus), sélectionne la formule correspondante. Écris-la en entier avant de remplacer, cela évite les erreurs de signe.
Étape 3 : remplacer par les valeurs exactes
Substitue cos a, sin a, cos b, sin b par leurs valeurs exactes. Utilise les valeurs remarquables du tableau (0, π/6, π/4, π/3, π/2).
Étape 4 : simplifier
Effectue les produits et simplifie les fractions. Vérifie que le résultat est cohérent avec l'ordre de grandeur attendu (par exemple, cos(π/12) doit être proche de 1, puisqu'on est proche de 0).
Exemple entièrement résolu : calculer cos(π/12) et sin(π/12)
On veut calculer la valeur exacte de cos(π/12). On remarque que π/12 = π/3 − π/4 (car π/3 − π/4 = 4π/12 − 3π/12 = π/12). Posons a = π/3 et b = π/4.
On connaît : cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, sin(π/4) = √2/2.
On applique la formule cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b :
cos(π/12) = cos(π/3) cos(π/4) + sin(π/3) sin(π/4)
= (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2)
= √2/4 + √6/4
= (√6 + √2) / 4.
Vérifions numériquement : √6 ≈ 2,449 et √2 ≈ 1,414, donc (√6 + √2)/4 ≈ 3,863/4 ≈ 0,966. Or π/12 ≈ 0,262 rad ≈ 15°, et cos(15°) ≈ 0,966. C'est cohérent.
Calculons maintenant sin(π/12) avec la même décomposition a = π/3, b = π/4, formule sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b :
sin(π/12) = sin(π/3) cos(π/4) − cos(π/3) sin(π/4)
= (√3/2)(√2/2) − (1/2)(√2/2)
= √6/4 − √2/4
= (√6 − √2) / 4.
Vérification : (√6 − √2)/4 ≈ (2,449 − 1,414)/4 ≈ 1,035/4 ≈ 0,259. Et sin(15°) ≈ 0,259. Parfait.
Dernière vérification avec l'identité fondamentale : cos²(π/12) + sin²(π/12) = ((√6+√2)² + (√6−√2)²)/16 = (6 + 2√12 + 2 + 6 − 2√12 + 2)/16 = 16/16 = 1. Excellent, tout est cohérent.
Conseils, pièges fréquents et méthode de révision
Piège 1 : confondre degrés et radians
Les formules d'addition sont valables pour des angles en radians ou en degrés, à condition de rester cohérent. Si tu écris cos(30° + 45°), tu dois utiliser cos 30°, sin 30°, etc. Mais si tu écris cos(π/6 + π/4), tu restes en radians. Ne mélange jamais les deux unités dans un même calcul. Au lycée, on privilégie les radians, surtout en Première et Terminale.
Piège 2 : se tromper de signe
La formule cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b contient un signe moins, alors que sin(a + b) contient un signe plus. Beaucoup d'élèves écrivent cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b, ce qui est faux. Pour t'en souvenir : le cosinus « inverse » le signe, le sinus le « conserve ».
Piège 3 : oublier les conditions pour tan(a + b)
La formule tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b) n'est valable que si cos a ≠ 0, cos b ≠ 0 et cos(a + b) ≠ 0. Si 1 − tan a tan b = 0, alors tan(a + b) n'est pas définie (l'angle a + b est de la forme π/2 + kπ).
Piège 4 : mal choisir la décomposition
Pour calculer cos(7π/12), il faut voir que 7π/12 = π/3 + π/4. Pour cos(π/12), on utilise π/3 − π/4. Entraîne-toi à repérer ces décompositions : c'est souvent le vrai obstacle, pas la formule elle-même.
Méthode de révision
Apprends d'abord les deux formules de base (cos(a+b) et sin(a+b)) et retrouve les deux autres en changeant b en −b, sachant que cos(−b) = cos b et sin(−b) = −sin b. Entraîne-toi ensuite sur des exercices variés : calcul de valeurs exactes, simplification d'expressions, résolution d'équations. Le site propose des exercices de trigonométrie progressifs pour t'entraîner, ainsi qu'une section révisions pour consolider tes acquis avant un contrôle. Si tu veux aussi travailler la rigueur de rédaction et la méthode, jette un œil aux ressources d'AlloBac.
Conclusion : vers une vraie maîtrise des formules d'addition
Les formules d'addition en trigonométrie ne sont pas un chapitre isolé : elles servent à démontrer les formules de duplication (cos(2a) = cos²a − sin²a), les formules de linéarisation, la résolution d'équations trigonométriques, et bien sûr le calcul de valeurs exactes comme cos(π/12). Les maîtriser, c'est te donner accès à tout le reste du programme de trigonométrie en Première et Terminale. Commence par bien visualiser le cercle trigonométrique, écris chaque formule en entier avant de remplacer, et vérifie systématiquement tes résultats avec l'identité cos² + sin² = 1. Avec un peu de pratique régulière, cos(a+b) et sin(a+b) deviendront des réflexes. Tu progresses chapitre par chapitre : la trigonométrie est l'un des plus gratifiants, car tout s'enchaîne logiquement. Alors, à toi de jouer !
