C'est quoi la relation fondamentale cos²+sin²=1 ?
En trigonométrie, une des formules les plus importantes est : cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Elle est vraie pour n'importe quel angle θ, qu'il soit exprimé en degrés ou en radians. Cette égalité découle directement du théorème de Pythagore appliqué au cercle trigonométrique. Comprendre cette relation te permettra de simplifier des expressions, de résoudre des équations et de vérifier des identités trigonométriques.
Avant d'aller plus loin, rappelons les définitions de base :
- Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle : cos(θ) = côté adjacent / hypoténuse.
- Sinus d'un angle aigu : sin(θ) = côté opposé / hypoténuse.
- Cercle trigonométrique : cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. Pour un angle θ, le point M sur le cercle a pour coordonnées (cos(θ) ; sin(θ)).
Démonstration à partir du cercle trigonométrique
Place-toi dans le cercle trigonométrique de rayon 1. Pour un angle θ, le point M a pour abscisse cos(θ) et pour ordonnée sin(θ). La distance OM vaut 1 (rayon). Par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les projections, on a : (cos(θ))² + (sin(θ))² = OM² = 1. Ainsi, cos²(θ) + sin²(θ) = 1.
Cette relation est valable pour tout angle, même si le point M est dans un autre quadrant (les carrés rendent les signes positifs).
Exemple concret : calcul d'une valeur manquante
Supposons que tu saches que cos(θ) = 3/5 et que θ est un angle aigu (entre 0 et 90°). Tu peux trouver sin(θ) grâce à la relation fondamentale.
On a : cos²(θ) + sin²(θ) = 1, donc (3/5)² + sin²(θ) = 1, soit 9/25 + sin²(θ) = 1. Ainsi sin²(θ) = 1 - 9/25 = 16/25. Comme θ est aigu, sin(θ) > 0, donc sin(θ) = √(16/25) = 4/5.
Tu peux vérifier avec le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, si adjacent = 3 et hypoténuse = 5, alors opposé = √(5² - 3²) = 4, donc sin = 4/5.
Autre exemple : angle obtus
Prenons θ = 120° (soit 2π/3 rad). On sait que cos(120°) = -1/2 et sin(120°) = √3/2. Vérifions : (-1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1. La relation fonctionne même si le cosinus est négatif.
Pièges fréquents à éviter
Confusion entre degrés et radians
La relation cos²+sin²=1 est vraie quelle que soit l'unité, mais attention : quand tu utilises ta calculatrice, vérifie qu'elle est en mode degré ou radian selon l'énoncé. Par exemple, pour θ=30° (π/6 rad), cos=√3/2, sin=1/2, la somme des carrés donne 3/4+1/4=1.
Signe du sinus ou cosinus
La relation ne donne que le carré. Pour retrouver le signe, tu dois connaître le quadrant où se trouve l'angle. Par exemple, si cos(θ)= -1/2 et θ est entre 90° et 180°, alors sin(θ) est positif (car dans le quadrant II, sinus >0).
Utilisation avec la tangente
La relation fondamentale permet aussi de trouver tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). En divisant cos²+sin²=1 par cos², on obtient 1+tan²=1/cos² (sauf si cos=0).
Comment s'entraîner ?
Pour maîtriser cette relation, rien de tel que la pratique. Consulte nos exercices de trigonométrie pour t'entraîner. Tu trouveras aussi des cours complets sur le sujet. N'hésite pas à utiliser la page de révisions pour consolider tes acquis.
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Conclusion
La relation cos²+sin²=1 est un outil puissant et simple. Retiens-la bien, elle te servira dans de nombreux exercices de trigonométrie. Avec un peu de pratique, tu l'utiliseras sans y penser !
