En terminale spécialité maths, la dérivation des fonctions trigonométriques est une étape clé. Tu as déjà manipulé cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique, mais les dériver ouvre la porte à l'étude des variations, des extremums et à des applications en physique. Pas de panique : avec les bonnes définitions et un peu de méthode, tout devient clair. Dans cet article, on va comprendre ensemble la dérivée de cosinus et sinus, avec des formules exactes, des exemples chiffrés et des pièges à éviter.
Rappels essentiels : les fonctions cosinus et sinus
Avant de parler de dérivées, il faut être au point sur les définitions. Les fonctions cosinus et sinus sont définies pour tout nombre réel, et leur unité naturelle est le radian. Sur le cercle trigonométrique (de rayon 1), un angle en radians correspond à la longueur de l'arc intercepté. Par exemple, un tour complet vaut 2π radians, soit 360 degrés.
Pour un angle θ, on a :
- cos(θ) = abscisse du point sur le cercle trigonométrique
- sin(θ) = ordonnée de ce même point
Une identité fondamentale : cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Elle découle directement du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le rayon, la projection horizontale et verticale.
Autres valeurs remarquables à connaître par cœur :
- cos(0) = 1, sin(0) = 0
- cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2
- cos(π/4) = √2/2, sin(π/4) = √2/2
- cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2
- cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1
Ces valeurs sont exactes, aucune approximation décimale n'est nécessaire au lycée. Tu les retrouveras souvent dans les exercices de dérivation.
La dérivée de cosinus et sinus : les formules à connaître
Voici le résultat fondamental, à connaître parfaitement :
- La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus : (sin x)' = cos x
- La dérivée de la fonction cosinus est l'opposée de la fonction sinus : (cos x)' = -sin x
Attention au signe moins pour le cosinus ! C'est l'erreur la plus fréquente.
Pour la tangente, définie comme tan x = sin x / cos x (si cos x ≠ 0), on a : (tan x)' = 1 + tan² x, ou encore 1/cos² x. On peut la dériver en utilisant la formule de dérivation d'un quotient, mais au lycée on retient souvent la première forme.
Dérivée d'une composée : la formule de dérivation en chaîne
Très souvent, on doit dériver des expressions comme sin(2x), cos(x²) ou sin(3x + π/4). Pour cela, on utilise la dérivée d'une fonction composée. Si u est une fonction dérivable, alors :
- (sin u)' = u' × cos u
- (cos u)' = -u' × sin u
Ici, u' désigne la dérivée de u. Par exemple, pour sin(2x), on a u = 2x, u' = 2, donc (sin(2x))' = 2 cos(2x).
Pourquoi ces dérivées sont-elles vraies ? Une démonstration intuitive
Il est important de comprendre d'où viennent ces formules, au moins intuitivement. Considérons un point qui se déplace sur le cercle trigonométrique à vitesse angulaire constante de 1 radian par seconde. Sa position à l'instant t est (cos t, sin t).
La vitesse du point est un vecteur tangent au cercle. En un point donné, la tangente au cercle est perpendiculaire au rayon. Si le point a pour coordonnées (cos t, sin t), le rayon est le vecteur (cos t, sin t). Un vecteur tangent peut être obtenu en tournant ce rayon de 90 degrés. En tournant de 90 degrés dans le sens trigonométrique, on obtient le vecteur (-sin t, cos t). C'est exactement la dérivée : la vitesse horizontale est -sin t (dérivée de cos t) et la vitesse verticale est cos t (dérivée de sin t).
Cette interprétation géométrique justifie les formules. Si tu veux revoir le cercle trigonométrique en détail, je te conseille de consulter la page cours de trigonométrie sur AlloTrigonométrie.
Exemples concrets de dérivation de cosinus et sinus
Passons à la pratique. Voici plusieurs exemples entièrement résolus, étape par étape.
Exemple 1 : dériver une fonction simple
Soit f(x) = sin x + cos x. Calculons f'(x).
On dérive chaque terme séparément :
- La dérivée de sin x est cos x.
- La dérivée de cos x est -sin x.
Donc f'(x) = cos x - sin x.
Exemple 2 : dériver une composée avec un coefficient
Soit g(x) = sin(2x). On pose u = 2x, donc u' = 2.
La formule donne : g'(x) = u' × cos u = 2 cos(2x).
Exemple 3 : dériver un produit avec un polynôme
Soit h(x) = x² sin x. C'est un produit de deux fonctions : u = x² et v = sin x.
On utilise la formule de dérivation d'un produit : (uv)' = u'v + uv'.
u' = 2x, v' = cos x.
Donc h'(x) = 2x sin x + x² cos x.
Exemple 4 : dériver une fonction tangente
Soit k(x) = tan x. On sait que (tan x)' = 1 + tan² x. Mais vérifions avec la définition tan x = sin x / cos x.
On utilise la formule du quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v² avec u = sin x, v = cos x.
u' = cos x, v' = -sin x.
Donc k'(x) = (cos x × cos x - sin x × (-sin x)) / cos² x = (cos² x + sin² x) / cos² x = 1 / cos² x.
Et comme 1/cos² x = 1 + tan² x (car tan² x = sin² x / cos² x et cos² x + sin² x = 1), on retrouve bien la formule.
Exemple 5 : dériver une fonction avec une expression plus complexe
Soit p(x) = cos(3x + π/4). On pose u = 3x + π/4, u' = 3.
La dérivée de cos u est -u' sin u, donc p'(x) = -3 sin(3x + π/4).
Pour t'entraîner davantage, je te recommande de faire les exercices de la page exercices de trigonométrie.
Applications : étude des variations d'une fonction trigonométrique
Une des principales utilisations de la dérivée est l'étude des variations. Par exemple, prenons f(x) = sin x sur l'intervalle [0, 2π]. Sa dérivée est f'(x) = cos x. Le signe de cos x est positif quand x est entre 0 et π/2, négatif entre π/2 et 3π/2, et positif entre 3π/2 et 2π. On en déduit que f est croissante sur [0, π/2], décroissante sur [π/2, 3π/2], puis croissante sur [3π/2, 2π]. Les extremums sont atteints en π/2 (maximum 1) et 3π/2 (minimum -1).
De même, pour g(x) = cos x, on a g'(x) = -sin x. Le signe de -sin x est négatif quand sin x est positif, c'est-à-dire sur [0, π], et positif sur [π, 2π]. Donc cos est décroissante sur [0, π] et croissante sur [π, 2π].
Pièges fréquents et conseils pour réussir
Voici les erreurs les plus courantes que je vois chez mes élèves, et comment les éviter.
1. Confondre degrés et radians
Les formules de dérivées ne sont valables que si les angles sont exprimés en radians. Si tu utilises des degrés, les formules changent (il faudrait multiplier par π/180). En terminale, on travaille toujours en radians, donc vérifie bien sur ta calculatrice qu'elle est en mode radian.
2. Oublier le signe moins dans la dérivée du cosinus
La dérivée de cos est -sin, pas sin. Pour t'en souvenir, pense à la courbe : la tangente à la courbe de cos en 0 a une pente nulle, mais juste après, la courbe descend, donc la pente est négative. Or sin 0 = 0, donc si la dérivée était sin, elle serait nulle en 0, mais elle devrait être négative. Le signe moins est donc indispensable.
3. Utiliser la formule de dérivation d'un produit quand il n'y a pas de produit
Parfois, on a une expression comme sin x + cos x. Ce n'est pas un produit, c'est une somme. On dérive chaque terme séparément.
4. Se tromper dans la dérivation d'une composée
Quand on a sin(u), il ne faut pas oublier de multiplier par la dérivée de u. Par exemple, (sin(x²))' = 2x cos(x²), et non cos(x²).
5. Confondre les variations de sin et cos
Sur le cercle trigonométrique, sin est positive entre 0 et π, cos est positive entre -π/2 et π/2. Pour les variations, il faut étudier le signe de la dérivée, pas le signe de la fonction elle-même.
6. Ne pas simplifier les expressions
Parfois, après dérivation, on peut simplifier en utilisant des identités trigonométriques. Par exemple, (sin x)' = cos x, mais si on a (sin x cos x)', on obtient cos² x - sin² x, ce qui peut se simplifier en cos(2x). Pense à ces simplifications, elles sont souvent attendues dans les exercices.
Conclusion : maîtrise la dérivation des fonctions trigonométriques
La dérivée de cosinus et sinus est un outil puissant pour l'étude des fonctions trigonométriques. Avec les formules de base, la règle de dérivation des composées et un peu de pratique, tu pourras aborder sereinement les exercices de terminale. N'oublie pas de t'entraîner régulièrement, par exemple avec les ressources de la page trigonométrie en terminale. Tu peux aussi trouver des exercices supplémentaires sur le site partenaire AlloBac.
Rappelle-toi : chaque dérivée correcte est une victoire. Alors, à toi de jouer, et n'hésite pas à revenir sur ce guide quand tu en as besoin !
