Tu bloques devant une équation du type cos x = a ou sin x = a ? Pas de panique : résoudre une équation trigonométrique, ce n'est pas deviner une valeur au hasard. C'est une méthode mécanique, basée sur le cercle trigonométrique et sur des formules exactes que tu vas apprendre à appliquer dans le bon ordre. Dans cet article, on voit d'abord ce qu'est une équation trigonométrique, puis on déroule une méthode étape par étape, on résout un exemple chiffré entièrement, et on termine par les pièges classiques qui font perdre des points au contrôle.
Qu'est-ce qu'une équation trigonométrique ?
Une équation trigonométrique est une équation où l'inconnue apparaît à l'intérieur d'une fonction trigonométrique : sinus, cosinus ou tangente. Par exemple : cos x = 1/2, sin x = −√2/2, ou tan x = √3.
Rappelons les définitions exactes, telles qu'on les utilise au lycée.
- Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct).
- Un point M du cercle est repéré par un réel x : on parcourt une longueur |x| sur le cercle, dans le sens direct si x > 0, dans le sens indirect si x < 0.
- Le cosinus de x est l'abscisse de M, le sinus de x est l'ordonnée de M. Autrement dit, M a pour coordonnées (cos x ; sin x).
- La tangente de x est définie par tan x = sin x / cos x, pour cos x ≠ 0.
Dans un triangle rectangle, on retrouve ces mêmes notions : pour un angle aigu θ, cos(θ) = adjacent / hypoténuse, sin(θ) = opposé / hypoténuse, tan(θ) = opposé / adjacent. Mais pour les équations trigonométriques, c'est le cercle trigonométrique qui sert de référence, car il permet de traiter tous les angles, y compris au-delà de 90°.
Enfin, l'unité de référence au lycée est le radian. Un tour complet vaut 2π radians, soit 360°. La conversion est : 180° = π radians. Donc 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4, 30° = π/6.
Les formules clés pour résoudre cos x = a et sin x = a
Le principe est toujours le même : on repère d'abord une solution évidente, puis on utilise une formule qui donne toutes les solutions.
Résoudre cos x = a
Soit a un réel de l'intervalle [−1 ; 1]. On cherche d'abord un réel α tel que cos α = a. Alors :
cos x = cos α ⟺ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ, avec k entier relatif.
Sur le cercle trigonométrique, cela se lit ainsi : la droite verticale d'abscisse a coupe le cercle en (au plus) deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Les angles correspondants sont α et −α, et on ajoute 2kπ pour faire tous les tours.
Résoudre sin x = a
Soit a un réel de l'intervalle [−1 ; 1]. On cherche d'abord un réel α tel que sin α = a. Alors :
sin x = sin α ⟺ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ, avec k entier relatif.
Sur le cercle, la droite horizontale d'ordonnée a coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : les angles sont α et π − α.
Résoudre tan x = a
Pour tout réel a, on cherche α tel que tan α = a. Alors :
tan x = tan α ⟺ x = α + kπ, avec k entier relatif.
La période de la tangente est π, pas 2π : c'est une différence essentielle à retenir.
Tu peux retrouver toutes ces formules et les valeurs remarquables dans le cours de trigonométrie du site.
Méthode pas à pas : résoudre cos x = a
Voici la démarche à appliquer systématiquement.
- Étape 1 — Vérifier que l'équation a des solutions. Pour cos x = a ou sin x = a, il faut −1 ≤ a ≤ 1. Sinon, pas de solution.
- Étape 2 — Trouver un angle α dont le cosinus vaut a. On utilise les valeurs remarquables : cos 0 = 1, cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1.
- Étape 3 — Écrire les deux familles de solutions. x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ.
- Étape 4 — Restreindre si l'intervalle est imposé. Si l'énoncé demande les solutions dans [0 ; 2π[ par exemple, on choisit les valeurs de k qui donnent des x dans cet intervalle.
Imagine le cercle trigonométrique : tu traces la verticale passant par le point (a ; 0). Elle coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe horizontal. Les angles lus depuis l'axe des abscisses, dans le sens direct, sont exactement α et −α (que l'on peut aussi écrire 2π − α si l'on veut un angle positif).
Exemple entièrement résolu : cos x = 1/2
Résolvons l'équation cos x = 1/2, d'abord dans ℝ, puis dans l'intervalle [0 ; 2π[.
Étape 1. Ici a = 1/2, et −1 ≤ 1/2 ≤ 1. Donc il y a des solutions.
Étape 2. On cherche α tel que cos α = 1/2. D'après les valeurs remarquables, cos(π/3) = 1/2. Donc α = π/3.
Étape 3. Les solutions dans ℝ sont :
x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ, avec k ∈ ℤ.
Étape 4. On restreint à [0 ; 2π[.
- Pour x = π/3 + 2kπ : k = 0 donne x = π/3 ≈ 1,047, qui est bien dans [0 ; 2π[. k = 1 donne π/3 + 2π = 7π/3 ≈ 7,33 > 2π ≈ 6,28, donc hors intervalle. k = −1 donne une valeur négative. Seule solution : π/3.
- Pour x = −π/3 + 2kπ : k = 0 donne −π/3 < 0, exclu. k = 1 donne −π/3 + 2π = 5π/3 ≈ 5,24, qui est dans [0 ; 2π[. k = 2 donne −π/3 + 4π = 11π/3 > 2π, exclu.
Conclusion : dans [0 ; 2π[, les solutions sont x = π/3 et x = 5π/3. En degrés, cela correspond à 60° et 300°.
Vérifions : cos(π/3) = 1/2, et cos(5π/3) = cos(2π − π/3) = cos(π/3) = 1/2. C'est cohérent.
Deuxième exemple : sin x = −√2/2
Résolvons sin x = −√2/2 dans [0 ; 2π[.
On sait que sin(π/4) = √2/2. Mais ici le sinus est négatif. On cherche donc un angle dont le sinus vaut −√2/2. On peut prendre α = −π/4, car sin(−π/4) = −sin(π/4) = −√2/2.
Les solutions dans ℝ sont : x = −π/4 + 2kπ ou x = π − (−π/4) + 2kπ = 5π/4 + 2kπ.
Dans [0 ; 2π[ :
- −π/4 + 2kπ : k = 1 donne −π/4 + 2π = 7π/4 ≈ 5,50, dans l'intervalle. k = 0 donne une valeur négative, k = 2 dépasse 2π.
- 5π/4 + 2kπ : k = 0 donne 5π/4 ≈ 3,93, dans l'intervalle. k = 1 dépasse 2π.
Les solutions sont donc x = 5π/4 et x = 7π/4, soit 225° et 315°.
Pour t'entraîner sur ce type d'équations, tu trouveras des exercices corrigés de trigonométrie adaptés à ton niveau.
Pièges fréquents et conseils de méthode
1. Oublier la deuxième famille de solutions
Beaucoup d'élèves écrivent seulement x = α + 2kπ et oublient x = −α + 2kπ (pour le cosinus) ou x = π − α + 2kπ (pour le sinus). C'est l'erreur la plus coûteuse. Pense toujours au cercle : une droite coupe le cercle en deux points, donc il y a en général deux familles de solutions.
2. Confondre degrés et radians
Au lycée, on travaille presque toujours en radians. Si tu écris x = 60 + 2kπ, c'est incohérent : 60 est en degrés, 2kπ en radians. Écris soit x = π/3 + 2kπ, soit x = 60° + 360°k. Ne mélange jamais les deux unités dans une même expression.
3. Se tromper sur la période de la tangente
Pour tan x = a, la période est π, pas 2π. Donc les solutions s'écrivent x = α + kπ. Si tu écris + 2kπ, tu oublies la moitié des solutions.
4. Ne pas vérifier l'intervalle demandé
Quand l'énoncé précise « résoudre dans [0 ; 2π[ » ou « dans ]−π ; π] », il faut filtrer les solutions avec les valeurs de k. Fais un petit tableau ou teste k = −1, 0, 1, 2 pour chaque famille.
5. Utiliser la mauvaise valeur remarquable
Apprends par cœur le tableau des valeurs remarquables : cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, sin(π/6) = 1/2, sin(π/4) = √2/2, sin(π/3) = √3/2. Une erreur ici fausse toute la résolution. Pour aller plus loin et préparer le bac, consulte aussi les ressources de trigonométrie en Terminale.
Si tu veux travailler d'autres matières en parallèle, le site AlloBac propose des fiches et méthodes pour toutes les matières du lycée.
Conclusion : la trigonométrie, c'est une méthode qui se travaille
Résoudre une équation trigonométrique comme cos x = a ou sin x = a n'a rien de magique : c'est une recette en quatre étapes, appuyée sur le cercle trigonométrique et sur les valeurs remarquables. Plus tu t'entraînes à visualiser les deux points d'intersection sur le cercle, plus les formules deviennent naturelles. Commence par des équations simples dans [0 ; 2π[, puis ajoute des intervalles plus tordus et des équations avec tan x. La trigonométrie est un chapitre où la régularité paie énormément : quelques exercices par semaine suffisent pour progresser rapidement et aborder sereinement les équations plus complexes de Première et Terminale.
