Tu as déjà remarqué que la courbe de la fonction sinus « remonte » sans cesse, comme une vague qui se répète ? Ce phénomène porte un nom précis en trigonométrie : la périodicité. Comprendre la périodicité d'une fonction trigonométrique, c'est savoir au bout de quelle longueur la courbe se reproduit à l'identique. C'est une notion centrale au lycée : elle explique pourquoi on peut étudier sin(x) sur un seul petit intervalle et connaître ensuite toute la courbe. Dans cet article, on définit proprement la période, on montre pourquoi sin et cos ont pour période 2π, on calcule des périodes plus compliquées comme celle de cos(3x) ou de sin(x/2), et on termine par les pièges classiques. Tout est expliqué pas à pas, avec des exemples entièrement résolus.
Qu'est-ce qu'une fonction périodique ? Définition exacte
Commençons par la définition rigoureuse, celle du programme officiel.
Définition : une fonction f définie sur ℝ est dite périodique s'il existe un réel strictement positif T tel que, pour tout réel x appartenant à l'ensemble de définition de f, on ait :
f(x + T) = f(x).
Le nombre T s'appelle une période de f. Si de plus T est le plus petit réel strictement positif vérifiant cette égalité, on dit que T est la période de f (parfois appelée « plus petite période strictement positive »).
Attention à un point de vocabulaire essentiel : si T est une période, alors 2T, 3T, 4T… sont aussi des périodes. Par exemple, si f(x + 2π) = f(x), alors f(x + 4π) = f(x) également. C'est pour cela qu'on parle toujours de la période comme du plus petit T strictement positif. Quand on te demande « la période de la fonction sinus », la réponse attendue est 2π, pas 4π ni 6π.
Interprétation graphique : dans un repère du plan, la courbe de f se répète par translation de vecteur (T ; 0). Autrement dit, si tu découpes la courbe sur un intervalle de longueur T et que tu la fais glisser horizontalement de T, elle se superpose exactement à elle-même. C'est exactement ce que tu observes sur la courbe de la fonction sinus tracée sur ℝ : un motif qui se répète indéfiniment.
Pourquoi parle-t-on de période 2π ?
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, muni d'un sens de parcours appelé sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). On y repère un point M associé à un réel x : x est la longueur de l'arc parcourue depuis le point de coordonnées (1 ; 0), exprimée en radians. Le cosinus de x est l'abscisse de M, le sinus de x est son ordonnée.
Le point clé : faire un tour complet du cercle correspond à une longueur d'arc de 2π (car le périmètre du cercle de rayon 1 vaut 2π × 1 = 2π). Quand tu ajoutes 2π à un réel x, tu reviens exactement au même point M sur le cercle. Donc :
cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x) pour tout réel x.
Voilà pourquoi on dit que sin et cos sont 2π-périodiques, et c'est là que le mot-clé période 2 pi prend tout son sens. On peut aussi ajouter un nombre entier de tours : pour tout entier relatif k, cos(x + 2kπ) = cos(x) et sin(x + 2kπ) = sin(x).
Et la fonction tangente ?
La fonction tangente est définie par tan(x) = sin(x) / cos(x), pour tous les réels x où cos(x) ≠ 0. Sa période n'est pas 2π mais π. La raison : ajouter π à un réel x revient à placer le point M diamétralement opposé sur le cercle trigonométrique. Or les coordonnées de ce point opposé sont (−cos(x) ; −sin(x)). On a donc :
sin(x + π) = −sin(x) et cos(x + π) = −cos(x).
En divisant, les deux signes « − » se simplifient : tan(x + π) = (−sin(x)) / (−cos(x)) = sin(x) / cos(x) = tan(x). La fonction tangente est donc π-périodique. Retiens bien cette différence : sin et cos → période 2π ; tan → période π.
Méthode pas à pas pour calculer une période
Voici la démarche à appliquer face à une fonction trigonométrique du type f(x) = cos(ax + b) ou f(x) = sin(ax + b), avec a un réel non nul.
Étape 1 : identifier la forme de la fonction
Repère le coefficient a devant la variable x. Par exemple, dans f(x) = sin(3x), on a a = 3. Dans g(x) = cos(x/2), on a a = 1/2. Dans h(x) = sin(−2x + π/4), on a a = −2. La constante b ajoutée à l'intérieur (ici π/4) ne change pas la période : elle décale seulement la courbe horizontalement.
Étape 2 : appliquer la formule de la période
Pour f(x) = sin(ax + b) ou f(x) = cos(ax + b) avec a ≠ 0, la période vaut :
T = 2π / |a|.
On prend la valeur absolue de a car une période est, par définition, un nombre strictement positif. Le signe de a n'a aucun effet sur la période : il modifie juste l'orientation de la courbe (elle est « retournée » si a < 0).
Pour la tangente, la formule devient T = π / |a| pour f(x) = tan(ax + b).
Étape 3 : vérifier par le calcul
Pour être sûr, tu peux toujours vérifier en calculant f(x + T) et en montrant que cela redonne f(x). C'est aussi la méthode à utiliser quand la fonction n'est pas de la forme simple, par exemple f(x) = sin(x) + cos(2x).
Si tu veux t'entraîner sur ce type de calcul, tu trouveras des exercices progressifs sur https://www.allotrigonometrie.fr/exercices.
Exemples entièrement résolus
Exemple 1 : période de f(x) = sin(3x)
Ici, a = 3. On applique la formule : T = 2π / |3| = 2π / 3.
Vérifions : f(x + 2π/3) = sin(3(x + 2π/3)) = sin(3x + 2π). Or sin(3x + 2π) = sin(3x) car sin est 2π-périodique. Donc f(x + 2π/3) = f(x). La période est bien 2π/3.
Interprétation : la courbe de sin(3x) fait trois oscillations complètes là où celle de sin(x) n'en fait qu'une seule sur le même intervalle de longueur 2π.
Exemple 2 : période de g(x) = cos(x/2)
Ici, a = 1/2. On a T = 2π / |1/2| = 2π × 2 = 4π.
Vérification : g(x + 4π) = cos((x + 4π)/2) = cos(x/2 + 2π) = cos(x/2) = g(x). La période est 4π.
Interprétation : la courbe de cos(x/2) est « étirée » horizontalement, elle met deux fois plus de temps à se répéter que celle de cos(x).
Exemple 3 : période de h(x) = sin(−2x + π/4)
Ici, a = −2. On calcule T = 2π / |−2| = 2π / 2 = π.
Vérification : h(x + π) = sin(−2(x + π) + π/4) = sin(−2x − 2π + π/4). Or sin(u − 2π) = sin(u) pour tout u, donc h(x + π) = sin(−2x + π/4) = h(x). La période est π.
Exemple 4 : période de k(x) = tan(4x − 1)
Pour la tangente, on utilise T = π / |a|. Ici a = 4, donc T = π / 4.
Vérification : k(x + π/4) = tan(4(x + π/4) − 1) = tan(4x + π − 1). Or tan(u + π) = tan(u), donc k(x + π/4) = tan(4x − 1) = k(x). La période est π/4.
Exemple 5 : somme de deux fonctions trigonométriques
Soit f(x) = sin(x) + cos(2x). Ici, on ne peut pas appliquer directement la formule T = 2π/|a|. On cherche la période commune.
La fonction sin(x) a pour période 2π. La fonction cos(2x) a pour période 2π/2 = π. Une période de la somme doit être un multiple commun de 2π et de π. Le plus petit multiple commun strictement positif est 2π (car 2π = 2 × π). Donc la période de f est 2π.
Vérification : f(x + 2π) = sin(x + 2π) + cos(2(x + 2π)) = sin(x) + cos(2x + 4π) = sin(x) + cos(2x) = f(x). On vérifie aussi que π n'est pas une période : f(x + π) = sin(x + π) + cos(2x + 2π) = −sin(x) + cos(2x), qui n'est pas égal à f(x) en général. La période est bien 2π.
Pièges fréquents et conseils de méthode
Voici les erreurs les plus courantes chez les élèves de lycée, et comment les éviter.
- Confondre degrés et radians. Les formules de période s'expriment en radians. Si un énoncé te donne un angle en degrés, convertis d'abord : 180° = π rad, donc 60° = π/3 rad. Ne mélange jamais les deux unités dans un même calcul.
- Oublier la valeur absolue de a. Si a = −3, la période de sin(−3x) est 2π/3, pas −2π/3. Une période est toujours strictement positive.
- Croire que la constante b change la période. Dans sin(2x + 5), la période reste 2π/2 = π. La constante 5 ne fait que décaler la courbe horizontalement.
- Confondre période de sin et période de tan. sin et cos ont pour période 2π, tan a pour période π. Vérifie toujours la fonction concernée avant d'appliquer une formule.
- Se tromper sur le signe et les valeurs remarquables. Quand tu résous des équations trigonométriques, la périodicité sert à écrire toutes les solutions : par exemple cos(x) = 1/2 donne x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ, avec k entier relatif. Le « + 2kπ » vient directement de la période 2π.
- Ne pas vérifier la plus petite période. Pour une somme de fonctions, il faut s'assurer que le multiple commun trouvé est bien le plus petit. Parfois, deux fonctions peuvent se « compenser » et donner une période plus courte que prévu.
Un bon réflexe : avant tout calcul, écris la forme de la fonction, identifie a, puis applique la bonne formule. Pour revoir les définitions du cercle trigonométrique et les formules de base, consulte le cours complet sur https://www.allotrigonometrie.fr/cours. Si tu prépares la Terminale spécialité, les notions de périodicité reviennent souvent dans l'étude des fonctions et des équations trigonométriques : retrouve des ressources adaptées sur https://www.allotrigonometrie.fr/terminale.
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Conclusion : la périodicité, clé de l'étude des fonctions trigonométriques
La périodicité d'une fonction trigonométrique n'est pas une formule à apprendre par cœur sans comprendre : c'est la traduction mathématique du fait que le cercle trigonométrique se referme sur lui-même. Retiens les trois piliers : sin et cos sont 2π-périodiques, tan est π-périodique, et pour f(x) = sin(ax + b) ou cos(ax + b), la période vaut 2π/|a|. Avec ces outils, tu peux étudier n'importe quelle fonction trigonométrique sur un intervalle de longueur T, puis étendre le résultat à toute la droite réelle. Entraîne-toi régulièrement sur des exemples variés, vérifie chaque calcul par la définition f(x + T) = f(x), et tu verras que ce chapitre devient vite l'un des plus satisfaisants de la trigonométrie.
