Tu as déjà croisé le mot sinus en cours, et tu te demandes peut-être comment on le calcule vraiment, sans te tromper de signe ni de formule. Pas de panique : la fonction sinus n'a rien de magique. Elle relie un angle à une longueur, et une fois que tu as compris le cercle trigonométrique, tout devient logique. Dans cet article, on va décortiquer la définition exacte, la méthode pas à pas, et on résoudra un exemple chiffré ensemble. À la fin, tu sauras calculer le sinus d'un angle en degrés ou en radians, tracer l'allure de la courbe sinus, et éviter les pièges classiques.
Définition exacte de la fonction sinus
Le point de départ : le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu noté θ (theta), on définit :
sin(θ) = côté opposé / hypoténuse
L'hypoténuse est le côté le plus long, face à l'angle droit. Le côté opposé est celui qui fait face à l'angle θ. Cette définition ne marche que pour 0° < θ < 90°. Pour aller plus loin, on utilise le cercle trigonométrique.
Le cercle trigonométrique : la définition générale
Imagine un cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un repère. On le parcourt dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct). Pour un angle θ mesuré en radians à partir de l'axe des abscisses, le point M sur le cercle a pour coordonnées :
M(cos(θ) ; sin(θ))
Autrement dit, le sinus de θ est l'ordonnée du point M, et le cosinus est son abscisse. Cette définition fonctionne pour tout angle, même négatif ou supérieur à 90°.
Unités : degrés et radians
Un angle se mesure en degrés ou en radians. La conversion est :
180° = π radians
Donc 90° = π/2 rad, 60° = π/3 rad, 45° = π/4 rad, 30° = π/6 rad. En trigonométrie au lycée, on utilise souvent les radians car les formules de dérivation sont plus simples.
Propriétés fondamentales
- La fonction sinus est définie pour tout réel : son ensemble de définition est ℝ.
- Elle est périodique de période 2π : sin(θ + 2π) = sin(θ).
- Elle est impaire : sin(−θ) = −sin(θ).
- Elle est bornée : −1 ≤ sin(θ) ≤ 1.
- Relation fondamentale : cos²(θ) + sin²(θ) = 1.
Méthode pas à pas pour calculer un sinus
Étape 1 : identifier l'angle et son unité
Repère si l'angle est en degrés ou en radians. Si on te donne π/3, c'est des radians. Si on te donne 60°, c'est des degrés. Ne mélange jamais les deux dans un même calcul.
Étape 2 : placer le point sur le cercle trigonométrique
Trace mentalement le cercle de rayon 1. Pars de l'axe horizontal (abscisses) et tourne dans le sens direct. Par exemple, pour π/3 (60°), tu t'arrêtes dans le premier quadrant. Le point M a une ordonnée positive.
Étape 3 : utiliser les valeurs remarquables ou la calculatrice
Pour les angles remarquables, apprends le tableau :
- sin(0) = 0
- sin(π/6) = 1/2
- sin(π/4) = √2/2
- sin(π/3) = √3/2
- sin(π/2) = 1
Pour un angle quelconque, utilise la calculatrice en mode radian ou degré selon l'unité.
Étape 4 : vérifier le signe
Le sinus est positif dans les quadrants 1 et 2 (partie supérieure du cercle), négatif dans les quadrants 3 et 4. Un coup d'œil au cercle t'évite bien des erreurs.
Étape 5 : simplifier si possible
Donne la valeur exacte quand c'est possible (par exemple √3/2), sinon une valeur approchée à 10⁻² près.
Exemple concret entièrement résolu
Énoncé : Calculer sin(5π/6) et vérifier avec la relation cos²(x) + sin²(x) = 1.
Étape 1 : L'angle est 5π/6 radians. Convertissons en degrés : 5π/6 × 180/π = 150°. Donc on cherche sin(150°).
Étape 2 : 150° est dans le deuxième quadrant (entre 90° et 180°). Le sinus y est positif.
Étape 3 : On remarque que 150° = 180° − 30°. Or sin(180° − x) = sin(x). Donc sin(150°) = sin(30°) = 1/2.
Étape 4 : Vérifions avec cos(5π/6). On sait que cos(150°) = −cos(30°) = −√3/2.
Alors cos²(5π/6) + sin²(5π/6) = (−√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. La relation est bien vérifiée.
Conclusion : sin(5π/6) = 1/2.
Autre exemple rapide : calculer sin(7π/4). 7π/4 = 315°, dans le quatrième quadrant, sinus négatif. 315° = 360° − 45°, donc sin(315°) = −sin(45°) = −√2/2.
La courbe sinus : à quoi ressemble-t-elle ?
La courbe sinus est la représentation graphique de la fonction f(x) = sin(x). Voici comment la décrire :
- Elle passe par l'origine (0 ; 0).
- Elle monte jusqu'à un maximum de 1 en x = π/2.
- Elle redescend, coupe l'axe des abscisses en x = π, puis atteint un minimum de −1 en x = 3π/2.
- Elle remonte et retrouve 0 en x = 2π.
- Elle se répète ensuite tous les 2π (périodicité).
La courbe a une forme de vague régulière, symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire). Elle oscille entre −1 et 1. Cette courbe est essentielle pour comprendre les phénomènes périodiques (sons, marées, courants alternatifs), mais en maths, elle sert surtout à étudier les équations trigonométriques et les dérivées.
Conseils de méthode et pièges fréquents
Piège n°1 : confondre degrés et radians
Si ta calculatrice est en mode degré et que tu tapes sin(π/3), elle va interpréter π/3 comme un angle en degrés (environ 1,047°), ce qui donnera un résultat faux. Vérifie toujours le mode (DEG ou RAD) avant de calculer.
Piège n°2 : oublier le signe
Le sinus n'est pas toujours positif. Pour un angle dans le troisième quadrant (entre π et 3π/2), le sinus est négatif. Utilise le cercle trigonométrique pour visualiser.
Piège n°3 : mal appliquer les formules d'addition
La formule correcte est : sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). Ne l'inverse pas avec celle du cosinus : cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b).
Piège n°4 : croire que sin(2x) = 2sin(x)
C'est faux ! La bonne formule est sin(2x) = 2sin(x)cos(x). De même, sin(x²) n'a rien à voir avec (sin(x))².
Conseil : mémoriser le cercle trigonométrique
Entraîne-toi à placer les angles remarquables et à lire sinus et cosinus. Pour progresser, fais des exercices corrigés de trigonométrie régulièrement. Et si tu veux revoir les bases, consulte le cours de trigonométrie complet.
Conclusion : maîtrise la fonction sinus pour réussir en trigo
La fonction sinus n'est pas qu'une touche sur ta calculatrice : c'est un outil puissant qui décrit des oscillations et des relations angulaires. En comprenant le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables et les formules de base, tu pourras résoudre des équations, étudier des variations et aborder sereinement les chapitres de Première et Terminale. N'oublie pas de t'entraîner avec des exercices de niveau terminale pour aller plus loin. Et pour d'autres matières scientifiques, jette un œil à AlloBac. La trigonométrie devient facile quand on la pratique : alors à toi de jouer !
