La fonction sinus est une des fonctions trigonométriques les plus importantes du programme de maths au lycée. Que tu sois en Seconde, Première ou Terminale, tu vas la croiser dans de nombreux exercices : équations, inéquations, dérivées, limites, études de fonctions... Dans cet article, je vais te montrer tout ce qu'il faut savoir sur la fonction sinus pour réussir le jour du bac. On va revoir sa définition exacte, son lien avec le cercle trigonométrique, les propriétés essentielles, et je te donnerai des exemples entièrement résolus. Prêt à devenir un as du sinus ? C'est parti !
1. Définition exacte de la fonction sinus
La fonction sinus, notée sin, est une fonction qui associe à tout réel x le sinus de l'angle x (exprimé en radians). Mais pour bien comprendre, il faut repartir de la définition dans le triangle rectangle et sur le cercle trigonométrique.
Dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ (thêta), on définit :
- sin(θ) = côté opposé / hypoténuse
- cos(θ) = côté adjacent / hypoténuse
- tan(θ) = côté opposé / côté adjacent (qui est aussi égale à sin(θ)/cos(θ))
Par exemple, si un triangle rectangle a un angle θ tel que le côté opposé mesure 3 et l'hypoténuse mesure 5, alors sin(θ) = 3/5 = 0,6.
Sur le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un repère orthonormé. Pour tout réel x, on place un point M sur le cercle tel que l'angle entre l'axe des abscisses et le rayon OM mesure x radians (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour les valeurs positives). Alors :
- cos(x) est l'abscisse du point M
- sin(x) est l'ordonnée du point M
Ainsi, la fonction sinus est définie pour tout réel x, et son ensemble de définition est ℝ (tous les nombres réels). Comme le point M est sur le cercle de rayon 1, les valeurs de sin(x) sont toujours comprises entre -1 et 1. On note : pour tout x, -1 ≤ sin(x) ≤ 1.
2. La courbe de la fonction sinus
La représentation graphique de la fonction sinus est une courbe périodique appelée sinusoïde. Elle oscille entre -1 et 1, et se répète tous les 2π (car le cercle trigonométrique fait un tour complet en 2π radians).
Si tu veux la tracer, voici comment procéder point par point :
- Pour x = 0, sin(0) = 0
- Pour x = π/6 (30°), sin(π/6) = 1/2 = 0,5
- Pour x = π/4 (45°), sin(π/4) = √2/2 ≈ 0,707
- Pour x = π/3 (60°), sin(π/3) = √3/2 ≈ 0,866
- Pour x = π/2 (90°), sin(π/2) = 1
- Pour x = π (180°), sin(π) = 0
- Pour x = 3π/2 (270°), sin(3π/2) = -1
- Pour x = 2π (360°), sin(2π) = 0
En reliant ces points par une courbe lisse, tu obtiens une vague qui part de l'origine, monte jusqu'à 1, redescend à 0, puis à -1, et revient à 0. Cette forme est caractéristique de la fonction sinus.
3. Propriétés essentielles de la fonction sinus
Pour le bac, tu dois connaître plusieurs propriétés importantes de la fonction sinus.
Périodicité
La fonction sinus est périodique de période 2π. Cela signifie que pour tout réel x :
sin(x + 2π) = sin(x)
Autrement dit, la courbe se répète identiquement tous les 2π. C'est une conséquence directe du fait qu'un angle de 2π radians correspond à un tour complet du cercle.
Parité
La fonction sinus est impaire. Pour tout réel x :
sin(-x) = -sin(x)
Graphiquement, cela signifie que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. Si tu regardes la courbe, tu vois que la partie pour x négatif est le symétrique de la partie pour x positif par une rotation de 180° autour de l'origine.
Valeurs remarquables
Il est indispensable de connaître par cœur les valeurs exactes de sinus pour les angles usuels. Voici un tableau récapitulatif :
- sin(0) = 0
- sin(π/6) = 1/2
- sin(π/4) = √2/2
- sin(π/3) = √3/2
- sin(π/2) = 1
- sin(π) = 0
- sin(3π/2) = -1
- sin(2π) = 0
Ces valeurs se retrouvent facilement sur le cercle trigonométrique. Par exemple, pour π/6, le point correspondant a une ordonnée de 1/2.
Relation fondamentale
Une formule à connaître absolument : pour tout réel x,
cos²(x) + sin²(x) = 1
Cette relation découle du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique (le rayon est 1). Elle est très utile pour simplifier des expressions ou résoudre des équations.
4. Dérivée et variations de la fonction sinus
En Première et en Terminale, tu étudies les variations de la fonction sinus grâce à sa dérivée.
La dérivée de la fonction sinus est :
(sin x)' = cos x
C'est une formule à connaître par cœur. Grâce à elle, on peut déterminer le signe de la dérivée et donc les variations de la fonction.
Sur l'intervalle [0, 2π], la fonction cosinus est positive sur [0, π/2] et sur [3π/2, 2π], et négative sur [π/2, 3π/2]. Par conséquent, la fonction sinus est croissante sur [0, π/2], décroissante sur [π/2, 3π/2], puis croissante sur [3π/2, 2π].
On résume souvent cela dans un tableau de variations. Pour x variant de 0 à 2π :
- sin(0) = 0
- sin(π/2) = 1 (maximum)
- sin(3π/2) = -1 (minimum)
- sin(2π) = 0
La courbe de la fonction sinus a des tangentes horizontales aux points où la dérivée s'annule, c'est-à-dire lorsque cos(x) = 0, donc pour x = π/2 + kπ (k entier).
5. Exemple résolu : étude complète de la fonction sinus
Prenons un exemple typique de bac : on te demande d'étudier la fonction f définie sur ℝ par f(x) = sin(x) - x.
Étape 1 : Dérivée
f'(x) = cos(x) - 1.
Comme cos(x) est toujours compris entre -1 et 1, on a cos(x) - 1 ≤ 0 pour tout x. Donc f'(x) ≤ 0, et f'(x) = 0 lorsque cos(x) = 1, c'est-à-dire pour x = 2kπ (k entier).
Étape 2 : Tableau de variations
Puisque f' est négative (sauf en des points isolés où elle s'annule), la fonction f est strictement décroissante sur ℝ.
Étape 3 : Limites
Quand x tend vers +∞, sin(x) reste borné entre -1 et 1, donc f(x) = sin(x) - x tend vers -∞. De même, quand x tend vers -∞, f(x) tend vers +∞.
Étape 4 : Conclusion
La fonction f est continue et strictement décroissante de +∞ à -∞, donc elle s'annule une unique fois sur ℝ. On peut vérifier que f(0) = 0, donc l'unique solution de sin(x) - x = 0 est x = 0.
Cet exemple illustre comment utiliser la dérivée et les propriétés de sinus pour résoudre un problème complet.
6. Pièges à éviter et conseils de méthode
Voici les erreurs les plus fréquentes en trigonométrie, et comment les éviter.
Confusion degrés / radians
En mathématiques, on utilise toujours les radians comme unité d'angle, sauf mention explicite du contraire. Quand tu utilises ta calculatrice, vérifie bien qu'elle est en mode RAD pour les calculs de sinus. Par exemple, sin(π) = 0, mais sin(180°) = 0 aussi, mais si tu tapes sin(180) en mode radian, tu obtiens une valeur approchée de -0,801... (car 180 radians ne correspondent pas à 180°).
Oublier la périodicité
Quand tu résous une équation du type sin(x) = a, n'oublie pas qu'il y a une infinité de solutions. Par exemple, sin(x) = 1/2 a pour solutions x = π/6 + 2kπ et x = 5π/6 + 2kπ, avec k entier relatif. Sur un intervalle donné, il faut sélectionner les solutions qui appartiennent à l'intervalle.
Signe du sinus selon le quadrant
Le sinus est positif dans les quadrants I et II (angles entre 0 et π), et négatif dans les quadrants III et IV (angles entre π et 2π). Utilise le cercle trigonométrique pour visualiser.
Confusion entre sin(x) et sin(2x)
Ne pas confondre sin(2x) et 2 sin(x). Par exemple, sin(π) = 0, mais 2 sin(π/2) = 2. Il faut appliquer les formules de duplication si nécessaire.
7. Pour aller plus loin : formules et exercices
En Terminale, tu verras aussi les formules d'addition et de duplication. Par exemple :
- sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
- sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)
- sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
Ces formules sont très utiles pour simplifier des expressions et résoudre des équations trigonométriques.
Pour t'entraîner, je te conseille de consulter les exercices de trigonométrie sur notre site, ainsi que les cours complets pour revoir toutes les notions. Si tu es en Terminale, n'hésite pas à visiter la page dédiée : trigonométrie en Terminale.
Et si tu as besoin de soutien scolaire en mathématiques, le site AlloBac propose des ressources pour t'accompagner.
Conclusion
La fonction sinus est un pilier de la trigonométrie au lycée. En maîtrisant sa définition, sa courbe, ses propriétés et sa dérivée, tu seras capable de résoudre une grande variété d'exercices au bac. N'oublie pas de t'entraîner régulièrement et de toujours vérifier tes calculs en t'aidant du cercle trigonométrique. Tu es sur la bonne voie, continue comme ça et tu réussiras !
