Exercices Sinus - Brevet
Prépare le Brevet des collèges avec des exercices type DNB sur le sinus. Entraîne-toi sur des problèmes concrets et maîtrise cette fonction essentielle.
Ce qui tombe au Brevet
Au DNB, les exercices de trigonométrie représentent généralement 4 à 8 points. Voici les situations les plus fréquentes :
- Calcul de hauteurs (immeubles, arbres, pylônes)
- Calcul de distances inaccessibles
- Problèmes avec plusieurs triangles rectangles
- Situations de la vie courante (rampes, toits, escaliers)
Rappel : le sinus dans un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est défini comme le rapport entre le côté opposé à cet angle et l'hypoténuse (le plus grand côté, celui qui est face à l'angle droit).
Formule fondamentale
sin(angle) = côté opposé / hypoténuse
Cette formule te permet de résoudre deux types de problèmes : calculer la longueur d'un côté quand tu connais un angle, ou calculer un angle quand tu connais deux côtés. Au Brevet, les deux cas sont fréquents et rapportent des points facilement si tu maîtrises la méthode.
Quand utiliser le sinus ?
Le sinus est la bonne fonction à utiliser quand tu connais (ou cherches) :
- Le côté opposé à l'angle étudié
- L'hypoténuse du triangle rectangle
Si tu as le côté adjacent et l'hypoténuse, utilise le cosinus. Si tu as les deux côtés de l'angle droit (opposé et adjacent), utilise la tangente.
Exercices type Brevet
Calcul de la hauteur d'un arbre
Un géomètre se place à 15 mètres d'un arbre. Avec son théodolite, il mesure un angle de 42° entre l'horizontale et le sommet de l'arbre. Sachant que l'appareil est placé à 1,60 m du sol, calculer la hauteur totale de l'arbre.
Méthode de résolution :
- Identifier le triangle rectangle (sol, observateur, sommet de l'arbre)
- La distance de 15 m est le côté adjacent à l'angle de 42°
- On cherche le côté opposé : il faut utiliser tan(42°) × 15
- tan(42°) ≈ 0.9004, donc hauteur au-dessus de l'appareil = 0.9004 × 15 ≈ 13.5 m
- Hauteur totale = 13.5 + 1.60 = 15.1 mètres
La rampe d'accès
Une rampe d'accès pour personnes à mobilité réduite doit respecter une pente maximale de 5%. Cette rampe mesure 8 mètres de long (longueur inclinée). Quelle est la hauteur maximale qu'elle peut atteindre ?
Méthode de résolution :
- Une pente de 5% signifie tan(angle) = 0.05
- Donc l'angle = arctan(0.05) ≈ 2.86°
- La rampe de 8 m est l'hypoténuse, on cherche la hauteur (côté opposé)
- sin(2.86°) = hauteur / 8
- hauteur = 8 × sin(2.86°) = 8 × 0.0499 ≈ 0.40 mètre (40 cm)
L'échelle du pompier
Une échelle de pompier de 18 mètres est déployée. Elle forme un angle de 65° avec le sol. À quelle hauteur du sol se trouve le sommet de l'échelle ?
Méthode de résolution :
- L'échelle (18 m) est l'hypoténuse du triangle rectangle
- On cherche la hauteur = côté opposé à l'angle de 65°
- C'est exactement le cas où on utilise le sinus !
- sin(65°) = hauteur / 18
- hauteur = 18 × sin(65°) = 18 × 0.906 ≈ 16.3 mètres
Méthodologie pour le jour J
À faire
- • Dessiner un schéma clair du triangle rectangle
- • Identifier l'angle aigu concerné
- • Repérer l'hypoténuse (face à l'angle droit)
- • Déterminer côté opposé et côté adjacent par rapport à l'angle
- • Choisir la bonne fonction (sin, cos ou tan)
- • Vérifier que le résultat est cohérent
À éviter
- • Confondre côté opposé et côté adjacent
- • Oublier de vérifier le mode de la calculatrice (DEG/RAD)
- • Se tromper dans la formule (mettre l'hypoténuse au numérateur)
- • Arrondir trop tôt dans les calculs intermédiaires
- • Oublier l'unité dans la réponse finale
- • Ne pas relire l'énoncé pour vérifier ce qui est demandé
Astuce mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
Pour retenir quelle fonction utiliser avec quels côtés :
SOH
Sin = Opposé / Hypoténuse
CAH
Cos = Adjacent / Hypoténuse
TOA
Tan = Opposé / Adjacent
