Bienvenue dans cet article consacré à la fonction sinus, une notion fondamentale en trigonométrie au lycée. Tu vas apprendre sa définition à partir du cercle trigonométrique, ses propriétés clés (parité, périodicité), comment tracer sa courbe, et comment l'utiliser dans des exemples concrets. Prêt ? C'est parti !
Définition de la fonction sinus
La fonction sinus, notée sin, est définie pour tout nombre réel x (mesuré en radians). Pour la comprendre, on utilise le cercle trigonométrique : un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé.
Imagine un point M sur ce cercle, repéré par un angle x mesuré depuis l'axe des abscisses positives (sens inverse des aiguilles d'une montre). Le sinus de x est alors l'ordonnée du point M. Autrement dit : sin(x) = ordonnée de M.
Cette définition géométrique permet de donner un sens à sin(x) pour tout réel x, même en dehors de l'intervalle [0 ; 2π] : on enroule la droite des réels autour du cercle.
Lien avec le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, si un angle aigu θ est mesuré en radians, alors :
sin(θ) = côté opposé / hypoténuse.
Cette formule est valable uniquement pour θ compris entre 0 et π/2 (soit 0° à 90°). La définition par le cercle trigonométrique est plus générale.
Propriétés fondamentales de la fonction sinus
Parité et périodicité
La fonction sinus est impaire : pour tout réel x, sin(−x) = − sin(x). Graphiquement, la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Elle est périodique de période 2π : sin(x + 2π) = sin(x) pour tout x. Cela signifie que la courbe se répète tous les 2π.
Valeurs remarquables
Voici les valeurs exactes à connaître :
- sin(0) = 0
- sin(π/6) = 1/2
- sin(π/4) = √2/2
- sin(π/3) = √3/2
- sin(π/2) = 1
- sin(π) = 0
- sin(3π/2) = −1
- sin(2π) = 0
Ces valeurs se retrouvent facilement sur le cercle trigonométrique.
Relation fondamentale
Pour tout réel x : cos²(x) + sin²(x) = 1. C'est l'identité trigonométrique la plus importante.
Courbe de la fonction sinus
La courbe sinus (ou sinusoïde) est tracée dans un repère orthogonal. En abscisse, on place l'angle x en radians ; en ordonnée, la valeur de sin(x).
Pour tracer la courbe sur [0 ; 2π], on place les points correspondant aux valeurs remarquables : (0,0), (π/6, 0.5), (π/4, ~0.707), (π/3, ~0.866), (π/2, 1), (π, 0), (3π/2, −1), (2π, 0). On relie ces points par une courbe lisse qui ondule.
La courbe obtenue :
- Passe par l'origine.
- Monte jusqu'à 1 en π/2, puis redescend à 0 en π.
- Devient négative entre π et 2π, atteint −1 en 3π/2, puis remonte à 0 en 2π.
- Elle est symétrique par rapport à l'origine (impaire).
- Elle se répète tous les 2π.
La courbe sinus est une onde sinusoïdale, très utilisée en physique (oscillations, son, courant alternatif).
Exemple résolu : calculer sin(5π/6)
Calculons sin(5π/6) sans calculatrice.
Étape 1 : Placer l'angle sur le cercle trigonométrique. 5π/6 = π − π/6. C'est un angle du deuxième quadrant (entre π/2 et π).
Étape 2 : Utiliser la symétrie. On sait que sin(π − θ) = sin(θ). Donc sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2.
Étape 3 : Vérifier le signe. Dans le deuxième quadrant, le sinus est positif (ordonnée positive). Donc sin(5π/6) = 1/2.
Réponse : sin(5π/6) = 1/2.
Méthode pour étudier la fonction sinus
Pour étudier la fonction sinus sur un intervalle donné, on suit généralement ces étapes :
- Domaine de définition : ℝ (tous les réels).
- Période : 2π, donc on peut restreindre l'étude à un intervalle de longueur 2π, par exemple [−π ; π] ou [0 ; 2π].
- Parité : impaire, donc on peut étudier sur [0 ; π] puis symétrie.
- Dérivée : sin'(x) = cos(x).
- Tableau de variation : sur [0 ; π], sin croît de 0 à 1 (sur [0 ; π/2]) puis décroît de 1 à 0 (sur [π/2 ; π]).
- Courbe : tracer en utilisant les points clés.
Pièges fréquents
- Confusion degrés/radians : toujours travailler en radians dans les calculs de fonctions trigonométriques. Si l'angle est en degrés, convertis-le : 180° = π rad.
- Signe du sinus : sur le cercle trigonométrique, le sinus est positif dans les quadrants 1 et 2 (au-dessus de l'axe des abscisses), négatif dans les quadrants 3 et 4.
- Période : ne pas confondre avec la fonction cosinus : sin(x + π) = − sin(x), pas sin(x).
- Valeurs remarquables : apprends-les par cœur, elles sont très utiles.
Conclusion
La fonction sinus est une fonction trigonométrique essentielle. Grâce à sa définition sur le cercle trigonométrique, ses propriétés de parité et de périodicité, et sa courbe caractéristique, tu peux résoudre de nombreux problèmes. Pour t'entraîner, consulte nos exercices et nos cours. Si tu es en Terminale, n'hésite pas à approfondir avec les ressources spécifiques. Et pour des révisions générales, AlloBac peut t'aider. Continue à t'exercer, la trigonométrie n'aura bientôt plus de secrets pour toi !
