Qu'est-ce qu'une équation trigonométrique ?
Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît comme argument de fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente). Par exemple, cos x = 1/2 ou sin(2x) = √2/2. Résoudre une telle équation, c'est trouver toutes les valeurs de x (en radians ou en degrés) qui vérifient l'égalité. Ces valeurs sont souvent infinies car les fonctions trigonométriques sont périodiques. On les exprime généralement sous la forme d'ensembles de solutions avec des +2kπ ou +kπ.
Avant de plonger dans la méthode, assure-toi de bien maîtriser le cercle trigonométrique : c'est un cercle de rayon 1 centré à l'origine. L'angle x (en radians) repère un point M sur ce cercle, dont l'abscisse est cos(x) et l'ordonnée est sin(x). Les angles se mesurent à partir de l'axe des abscisses positifs, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Les équations trigonométriques les plus courantes sont de la forme cos x = a, sin x = a, tan x = a, ou des combinaisons comme cos(ax+b) = c. Nous allons détailler la méthode pour cos x = a, et tu verras que le principe s'adapte facilement aux autres.
Méthode générale pour résoudre cos x = a
Étape 1 : Vérifier que a est entre -1 et 1
Puisque cos x est toujours compris entre -1 et 1, si |a| > 1, l'équation n'a pas de solution. Si a est en dehors de cet intervalle, tu peux directement répondre : pas de solution réelle.
Étape 2 : Trouver une solution particulière sur [0, π]
Pour cos x = a, on cherche d'abord un angle α tel que cos α = a, avec α ∈ [0, π] (c'est l'intervalle de la fonction arccos). Par exemple, si a = 1/2, alors α = π/3 (car cos(π/3) = 1/2). Si a = -√2/2, alors α = 3π/4 (car cos(3π/4) = -√2/2).
Étape 3 : Utiliser la symétrie du cercle trigonométrique
Sur le cercle trigonométrique, le cosinus est l'abscisse. Si un angle α a pour cosinus a, alors l'angle -α a aussi le même cosinus (car cos(-α) = cos α). De plus, à cause de la périodicité de 2π, tous les angles de la forme α + 2kπ et -α + 2kπ (avec k entier) ont aussi le même cosinus. Donc les solutions de cos x = a sont :
x = α + 2kπ ou x = -α + 2kπ, avec k ∈ ℤ.
On écrit souvent ces deux familles ensemble : x = ±α + 2kπ.
Étape 4 : Adapter pour des fonctions composées
Si l'équation est cos(ax+b) = c, on pose X = ax+b, on résout cos X = c, puis on revient à x. Par exemple, cos(2x) = 1/2 donne 2x = π/3 + 2kπ ou 2x = -π/3 + 2kπ, donc x = π/6 + kπ ou x = -π/6 + kπ.
Exemple détaillé : résoudre cos x = -1/2
Appliquons la méthode étape par étape.
Étape 1 : a = -1/2, |a| = 1/2 ≤ 1, donc des solutions existent.
Étape 2 : Sur [0, π], quel angle α a pour cosinus -1/2 ? On sait que cos(2π/3) = -1/2, donc α = 2π/3.
Étape 3 : Les solutions sont x = 2π/3 + 2kπ ou x = -2π/3 + 2kπ, avec k ∈ ℤ.
On peut aussi écrire : x = ±2π/3 + 2kπ.
Vérification : Si k=0, x=2π/3 donne cos= -1/2 ; x=-2π/3 donne cos= -1/2 (car cos(-2π/3)=cos(2π/3)= -1/2). Si k=1, x=2π/3+2π=8π/3, cos(8π/3)=cos(8π/3 - 2π)=cos(2π/3)= -1/2 ; x=-2π/3+2π=4π/3, cos(4π/3)= -1/2. Tout est correct.
Représentation sur le cercle trigonométrique : Imagine le cercle de rayon 1. L'angle 2π/3 (120°) se trouve dans le deuxième quadrant, son cosinus est négatif (abscisse négative). L'angle -2π/3 (ou 4π/3, 240°) se trouve dans le troisième quadrant, son cosinus est aussi négatif. Ces deux points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Résoudre sin x = a : une méthode analogue
Pour sin x = a, on procède de manière similaire, mais la symétrie est différente. On cherche d'abord α ∈ [-π/2, π/2] tel que sin α = a (c'est l'intervalle de arcsin). Ensuite, les solutions sont : x = α + 2kπ ou x = π - α + 2kπ (car sin(π - α) = sin α). Par exemple, sin x = √2/2 donne α = π/4, donc x = π/4 + 2kπ ou x = π - π/4 = 3π/4 + 2kπ.
Pour tan x = a, la solution est x = α + kπ, où α ∈ ]-π/2, π/2[ est tel que tan α = a.
Pièges fréquents à éviter
- Ne pas confondre degrés et radians : En trigonométrie au lycée, on travaille presque toujours en radians. Si l'énoncé donne des degrés, convertis-les en radians (π rad = 180°). Par exemple, 60° = π/3 rad.
- Oublier la périodicité : N'oublie jamais le +2kπ (ou +kπ pour tan). Une équation trigonométrique a une infinité de solutions, sauf si on restreint l'intervalle.
- Signe du cosinus et du sinus : Sur le cercle trigonométrique, cos est positif dans les quadrants I et IV, négatif en II et III. Sin est positif en I et II, négatif en III et IV. Vérifie toujours le quadrant de l'angle α trouvé.
- Équations du type cos(ax+b)=c : Après avoir trouvé X = ax+b, n'oublie pas de diviser par a, mais attention : la division par a affecte aussi le terme 2kπ. Par exemple, cos(2x)=1/2 donne 2x = ±π/3 + 2kπ, donc x = ±π/6 + kπ (et non +2kπ).
Conseils pour t'entraîner
La meilleure façon de maîtriser les équations trigonométriques est de t'exercer régulièrement. Sur notre page d'exercices, tu trouveras des problèmes progressifs. Consulte aussi le cours complet sur la trigonométrie pour revoir les bases. Si tu es en terminale, le programme de terminale aborde des équations plus complexes avec des formules d'addition.
Pour approfondir, tu peux aussi visiter AlloBac, un site partenaire qui propose des ressources pour le bac.
Conclusion
Résoudre une équation trigonométrique n'est pas sorcier : il suffit de connaître le cercle trigonométrique, de trouver une solution particulière, puis d'utiliser les symétries et la périodicité. Avec de la pratique, tu reconnaîtras rapidement les valeurs remarquables (π/6, π/4, π/3, etc.) et tu éviteras les pièges classiques. Continue à t'entraîner, et la trigonométrie n'aura plus de secrets pour toi !
