Le théorème d'Al-Kashi, aussi appelé loi des cosinus, est un outil incontournable pour résoudre les triangles qui ne sont pas rectangles. Tu as déjà utilisé le théorème de Pythagore ? Eh bien, le théorème d'Al-Kashi généralise cette relation à tous les triangles : il relie la longueur d'un côté au cosinus de l'angle opposé. Dans ce guide complet, tu vas comprendre sa formule, apprendre à l'appliquer étape par étape et voir des exemples concrets. Prêt à maîtriser la trigonométrie du triangle quelconque ?
Qu'est-ce que le théorème d'Al-Kashi ?
Le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) s'énonce ainsi : dans tout triangle ABC, avec les notations habituelles (côtés a = BC, b = AC, c = AB, angles A, B, C aux sommets correspondants), on a :
a² = b² + c² − 2bc cos(Â)
De même :
- b² = a² + c² − 2ac cos(B̂)
- c² = a² + b² − 2ab cos(Ĉ)
Cette formule te permet de calculer un côté quand tu connais les deux autres côtés et l'angle entre eux, ou de déterminer un angle quand tu connais les trois côtés.
Démonstration rapide (niveau Première)
Place le triangle ABC dans un repère orthonormé avec A à l'origine, B sur l'axe des abscisses. Soit AB = c, AC = b, et l'angle en A noté α. Alors les coordonnées sont : A(0;0), B(c;0), C(b cosα; b sinα). La distance BC au carré donne : BC² = (b cosα − c)² + (b sinα)² = b² cos²α − 2bc cosα + c² + b² sin²α = b²(cos²α+sin²α) + c² − 2bc cosα = b² + c² − 2bc cosα. C'est exactement a² = b² + c² − 2bc cosα.
Quand utiliser le théorème d'Al-Kashi ?
Le théorème d'Al-Kashi est utile dans deux cas principaux :
- Calcul d'un côté connaissant deux côtés et l'angle compris : tu as par exemple les longueurs b, c et l'angle A, tu calcules a.
- Calcul d'un angle connaissant les trois côtés : tu isoles le cosinus de l'angle. Par exemple, cos A = (b² + c² − a²) / (2bc).
Attention : la formule fonctionne pour tous les triangles, y compris les triangles rectangles. Si l'angle est droit (90°), cos(90°)=0, et la formule devient a² = b² + c² : on retrouve Pythagore.
Exemple concret résolu : calcul d'un côté
Prenons un triangle ABC avec AB = 5 cm, AC = 6 cm, et l'angle en A = 60°. Calcule BC.
Étape 1 : Identifie les données : côté a = BC (inconnu), b = AC = 6 cm, c = AB = 5 cm, angle A = 60°.
Étape 2 : Applique la formule : a² = b² + c² − 2bc cos A = 6² + 5² − 2×6×5×cos(60°).
Étape 3 : Calcule : 6²=36, 5²=25, 2×6×5=60, cos(60°)=0,5. Donc 60×0,5=30. Ainsi a² = 36+25−30 = 31.
Étape 4 : Prends la racine carrée : a = √31 ≈ 5,57 cm.
Résultat : BC mesure environ 5,57 cm.
Exemple concret résolu : calcul d'un angle
Maintenant, considère un triangle DEF avec DE = 7 cm, DF = 8 cm, EF = 5 cm. Calcule l'angle en D.
Étape 1 : Nomme les côtés : côté opposé à D est EF = 5 cm = a, les deux autres côtés sont DE = 7 cm = c et DF = 8 cm = b.
Étape 2 : La formule pour cos D : cos D = (b² + c² − a²) / (2bc) = (8² + 7² − 5²) / (2×8×7).
Étape 3 : Calcule numérateur : 64+49−25=88. Dénominateur : 2×8×7=112. Donc cos D = 88/112 = 11/14 ≈ 0,7857.
Étape 4 : Utilise la fonction inverse cosinus (arccos) : D = arccos(11/14) ≈ 38,2°.
L'angle en D mesure environ 38,2°.
Pièges à éviter
- Confusion degrés/radians : sur ta calculatrice, assure-toi d'être en degrés (DEG) si l'angle est en degrés, ou en radians (RAD) si l'angle est en radians. Exemple : cos(60°) = 0,5, mais cos(60 rad) est très différent.
- Signe du cosinus : pour un angle obtus (>90°), cos est négatif. La formule donne alors a² plus grand que b²+c², ce qui est correct.
- Ordre des côtés : la formule a² = b² + c² − 2bc cos A ne fonctionne que si l'angle A est compris entre les côtés b et c. Ne mélange pas les lettres.
Relation avec le cercle trigonométrique
Le cosinus d'un angle dans un triangle se définit initialement dans un triangle rectangle, mais le cercle trigonométrique étend cette définition à tous les angles entre 0° et 180° (ou 0 et π rad). Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, cos(θ) est l'abscisse du point correspondant. Pour un angle obtus, l'abscisse est négative, donc cos négatif. Le théorème d'Al-Kashi utilise cette définition généralisée.
Pour t'entraîner, explore nos exercices sur le théorème d'Al-Kashi ou révise les bases avec notre cours de trigonométrie. Tu peux aussi consulter AlloBac pour des annales.
Conclusion
Le théorème d'Al-Kashi est un prolongement puissant du théorème de Pythagore. Il te permet de résoudre n'importe quel triangle, à condition de bien identifier les côtés et l'angle. Avec de la pratique, tu verras qu'il devient un réflexe. N'oublie pas que la trigonométrie est partout : en géométrie, en physique, et même dans la vie courante. Continue à t'exercer, et bientôt tu seras imbattable sur la loi des cosinus !
