Les formules d'addition en trigonométrie sont des outils puissants pour simplifier des expressions trigonométriques et résoudre des équations. Elles te permettent de calculer le cosinus ou le sinus d'une somme ou d'une différence de deux angles. Dans cet article, tu vas comprendre d'où elles viennent, comment les retenir et les appliquer à des exemples concrets. Prêt à maîtriser cos(a+b) et sin(a+b) ?
Les formules d'addition : définitions exactes
Les formules d'addition relient les fonctions trigonométriques d'une somme d'angles à celles des angles individuels. Voici les quatre formules fondamentales, valables pour tous réels a et b :
- cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
- cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Ces formules sont à connaître par cœur. Elles découlent de la géométrie du cercle trigonométrique, que tu vas voir maintenant.
Démonstration simple avec le cercle trigonométrique
Imagine un cercle trigonométrique de rayon 1. Place deux points M et N sur ce cercle, correspondant aux angles a et b. Leurs coordonnées sont : M(cos a, sin a) et N(cos b, sin b). La rotation du vecteur OM d'angle b donne le vecteur ON. En utilisant les coordonnées polaires et les propriétés des rotations, on montre que cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b. De même, sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. Tu peux visualiser cela en traçant un triangle rectangle dans le cercle : l'hypoténuse est le rayon, les côtés sont les projections. Pas besoin d'image : retiens que ces formules sont la traduction algébrique d'une rotation dans le plan.
Méthode pour appliquer les formules
Étape 1 : Identifier les angles a et b
Quand tu as une expression comme cos(75°), cherche deux angles remarquables dont la somme ou la différence donne 75°. Par exemple, 75° = 45° + 30°. Tu connais les valeurs exactes de cos et sin pour 45° et 30°.
Étape 2 : Choisir la bonne formule
Utilise la formule correspondant à l'opération : addition ou soustraction, cosinus ou sinus. Écris-la clairement.
Étape 3 : Remplacer par les valeurs exactes
Remplace cos a, sin a, cos b, sin b par leurs valeurs. N'oublie pas les signes !
Étape 4 : Simplifier
Effectue les multiplications et additions pour obtenir une valeur exacte simplifiée.
Exemple concret : calcul de cos(75°) et sin(75°)
Prenons a = 45° et b = 30° (en degrés). Les valeurs exactes : cos45° = √2/2, sin45° = √2/2, cos30° = √3/2, sin30° = 1/2.
Calcul de cos(75°) :
cos(75°) = cos(45°+30°) = cos45° cos30° − sin45° sin30° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6/4) − (√2/4) = (√6 − √2)/4.
Calcul de sin(75°) :
sin(75°) = sin(45°+30°) = sin45° cos30° + cos45° sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4.
Ces valeurs sont exactes. Tu peux les vérifier avec une calculatrice en mode degré : cos75° ≈ 0.2588 et (√6−√2)/4 ≈ 0.2588.
Pièges fréquents à éviter
- Confusion entre degrés et radians : Assure-toi que ta calculatrice est dans le bon mode. Les formules sont valables dans les deux unités, mais les valeurs remarquables changent (par exemple, cos(π/3) = 1/2).
- Signes dans les formules : Attention, cos(a+b) a un signe moins entre les produits, alors que cos(a−b) a un signe plus. Pour les sinus, c'est l'inverse : sin(a+b) a un plus, sin(a−b) a un moins.
- Oublier les valeurs exactes : Apprends par cœur les valeurs de cos et sin pour 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (ou en radians).
- Ne pas simplifier : Après substitution, simplifie les fractions et les racines.
Pour aller plus loin : applications
Les formules d'addition servent aussi à dériver d'autres identités, comme les formules de duplication (sin 2a, cos 2a) ou les formules de transformation de produit en somme. Tu les retrouveras en résolution d'équations trigonométriques et en calcul intégral. Pour t'entraîner, consulte les exercices sur notre site. Si tu as besoin de revoir les bases, le cours complet est disponible.
Conclusion
Les formules d'addition sont des incontournables de la trigonométrie au lycée. Avec de la pratique, tu les utiliseras naturellement. N'hésite pas à les écrire sur une fiche et à les appliquer à des angles variés. Pour des révisions ciblées, le module de révision t'aidera à consolider tes connaissances. Et si tu veux explorer d'autres ressources, AlloBac propose des fiches pour le bac.
